Номер 21, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 21, страница 71.

Условие.

7.21. На рисунке 7.34 изображён куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Постройте образ данного куба при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $A$ является точка $D$;

2) образом точки $B$ является точка $C_1$.

Рис. 7.34

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) образом точки A является точка D

Параллельный перенос определяется вектором переноса. В данном случае, так как образом точки $A$ является точка $D$, то вектор переноса $\vec{v} = \vec{AD}$.

Чтобы построить образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, необходимо найти образы всех его вершин при переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AD}$. Обозначим образ произвольной точки $X$ как $X'$. Тогда для любой точки $X$ куба ее образ $X'$ находится из условия $\vec{XX'} = \vec{AD}$.

Найдем образы вершин куба:

• $A' = D$ (по условию).
• Для вершины $B$: $\vec{BB'} = \vec{AD}$. Так как $ABCD$ — грань куба (квадрат), то $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BC}$, откуда следует, что $B' = C$.
• Для вершины $A_1$: $\vec{A_1A'_1} = \vec{AD}$. Так как $ADD_1A_1$ — грань куба (квадрат), то $\vec{AD} = \vec{A_1D_1}$. Следовательно, $\vec{A_1A'_1} = \vec{A_1D_1}$, откуда следует, что $A'_1 = D_1$.
• Для вершины $B_1$: $\vec{B_1B'_1} = \vec{AD}$. В кубе векторы $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$ равны. Следовательно, $\vec{B_1B'_1} = \vec{B_1C_1}$, откуда следует, что $B'_1 = C_1$.

Таким образом, грань $ABB_1A_1$ исходного куба переходит в грань $DCC_1D_1$.

Для остальных вершин ($C$, $D$, $C_1$, $D_1$) их образы ($C'$, $D'$, $C'_1$, $D'_1$) строятся по тому же правилу:

• $\vec{CC'} = \vec{AD}$
• $\vec{DD'} = \vec{AD}$
• $\vec{C_1C'_1} = \vec{AD}$
• $\vec{D_1D'_1} = \vec{AD}$

В результате переноса куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ переходит в куб $A'B'C'D'A'_1B'_1C'_1D'_1$, вершинами которого являются точки $D, C, C', D', D_1, C_1, C'_1, D'_1$. Этот новый куб, $DCC'D'D_1C_1C'_1D'_1$, примыкает к исходному кубу по грани $DCC_1D_1$.

Ответ: Образом куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является куб $DCC'D'D_1C_1C'_1D'_1$, где вершины $C'$, $D'$, $C'_1$, $D'_1$ строятся таким образом, что четырёхугольники $ADCC'$, $ADD'D$, $ADC'_1C_1$ и $ADD'_1D_1$ являются параллелограммами.

2) образом точки B является точка C_1

В этом случае параллельный перенос задается вектором $\vec{v} = \vec{BC_1}$. Этот вектор является диагональю грани $BCC_1B_1$.

Чтобы построить образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдем образы всех его вершин при переносе на вектор $\vec{v} = \vec{BC_1}$. Обозначим образ произвольной точки $X$ как $X''$. Тогда для любой точки $X$ куба ее образ $X''$ находится из условия $\vec{XX''} = \vec{BC_1}$.

Найдем образы вершин куба:

• $B'' = C_1$ (по условию).
• Для вершины $A$: $\vec{AA''} = \vec{BC_1}$. В кубе грани $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны и равны, поэтому их соответствующие диагонали, заданные векторами $\vec{BC_1}$ и $\vec{AD_1}$, равны. Таким образом, $\vec{BC_1} = \vec{AD_1}$. Следовательно, $\vec{AA''} = \vec{AD_1}$, откуда следует, что $A'' = D_1$.

Итак, образом ребра $AB$ является ребро $D_1C_1$ исходного куба.

Образы остальных вершин ($C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$) — точки $C'', D'', A''_1, B''_1, C''_1, D''_1$ — строятся по тому же правилу смещения на вектор $\vec{BC_1}$:

• $\vec{CC''} = \vec{BC_1}$ (четырёхугольник $BCC''C_1$ — параллелограмм).
• $\vec{DD''} = \vec{BC_1}$ (четырёхугольник $BC_1D''D$ — параллелограмм).
• $\vec{A_1A''_1} = \vec{BC_1}$ (четырёхугольник $BC_1A''_1A_1$ — параллелограмм).
• $\vec{B_1B''_1} = \vec{BC_1}$ (четырёхугольник $BC_1B''_1B_1$ — параллелограмм).
• $\vec{C_1C''_1} = \vec{BC_1}$ (точки $B, C_1, C''_1$ лежат на одной прямой).
• $\vec{D_1D''_1} = \vec{BC_1}$ (четырёхугольник $BC_1D''_1D_1$ — параллелограмм).

В результате переноса куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ переходит в куб $A''B''C''D''A''_1B''_1C''_1D''_1$, вершинами которого являются точки $D_1, C_1, C'', D'', A''_1, B''_1, C''_1, D''_1$.

Ответ: Образом данного куба является куб $D_1C_1C''D''A''_1B''_1C''_1D''_1$, где $A'' = D_1$, $B'' = C_1$, а остальные вершины $C''$, $D''$, $A''_1$, $B''_1$, $C''_1$, $D''_1$ определяются смещением соответствующих вершин исходного куба ($C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$) на вектор $\vec{BC_1}$.