Номер 25, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 25, страница 71.

Условие.

7.25. Треугольник $A_1B_1C_1$ – изображение треугольника $ABC$. Постройте изображение биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$, если $AB : BC = 1 : 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $BD$ — биссектриса угла $B$ в исходном треугольнике $ABC$, при этом точка $D$ лежит на стороне $AC$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде отношения:

$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $

Из условия задачи известно, что $AB : BC = 1 : 2$. Подставив это отношение в формулу, получаем:

$ \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} $

Это означает, что биссектриса $BD$ пересекает сторону $AC$ в такой точке $D$, которая делит эту сторону в отношении $1:2$, считая от вершины $A$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением (параллельной проекцией) треугольника $ABC$. Одним из инвариантов параллельного проецирования является сохранение отношения длин параллельных отрезков и отрезков, лежащих на одной прямой.

Следовательно, изображение $D_1$ точки $D$ будет лежать на изображении отрезка $AC$, то есть на отрезке $A_1C_1$, и будет делить его в том же самом отношении:

$ \frac{A_1D_1}{D_1C_1} = \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} $

Изображением биссектрисы $BD$ является отрезок $B_1D_1$. Таким образом, для построения изображения биссектрисы необходимо найти на стороне $A_1C_1$ точку $D_1$, которая делит её в отношении $1:2$, и соединить эту точку с вершиной $B_1$.

Построение

1. Провести из точки $A_1$ произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $A_1C_1$.
2. На луче $l$, начиная от точки $A_1$, отложить с помощью циркуля три равных отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков как $K_1$, $K_2$ и $K_3$ так, что $A_1K_1 = K_1K_2 = K_2K_3$.
3. Соединить точку $K_3$ с точкой $C_1$, получив отрезок $K_3C_1$.
4. Через точку $K_1$ провести прямую, параллельную отрезку $K_3C_1$. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1C_1$ и будет искомой точкой $D_1$. Согласно обобщенной теореме Фалеса, эта точка разделит отрезок $A_1C_1$ в отношении $A_1D_1 : D_1C_1 = A_1K_1 : K_1K_3 = 1:2$.
5. Соединить точку $B_1$ с построенной точкой $D_1$.

Полученный отрезок $B_1D_1$ является искомым изображением биссектрисы треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$.

Ответ: Искомое изображение биссектрисы – это отрезок $B_1D_1$, где точка $D_1$ делит отрезок $A_1C_1$ в отношении $A_1D_1 : D_1C_1 = 1:2$. Построение точки $D_1$ приведено выше.