Номер 29, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 29, страница 71.

Условие.

7.29. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ – изображение ромба $ABCD$. Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей ромба на сторону $AD$, если $\angle A = 60^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения изображения перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей ромба на сторону, необходимо сначала определить положение основания этого перпендикуляра на стороне ромба, а затем использовать свойства параллельного проецирования для построения его изображения.

Анализ исходной фигуры (ромба ABCD)

1. Пусть $ABCD$ — ромб, у которого по условию $\angle A = 60^{\circ}$. Поскольку все стороны ромба равны ($AB = AD$), треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с углом при вершине $60^{\circ}$. Следовательно, $\triangle ABD$ — равносторонний, и $AB = AD = BD$.

2. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, значит $O$ — середина диагонали $BD$. Таким образом, $OD = \frac{1}{2}BD$. Так как $BD=AD$, то $OD = \frac{1}{2}AD$.

3. Опустим перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $AD$ ($H \in AD$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODH$. Угол $\angle ODH$ равен углу $\angle ADB$. Поскольку $\triangle ABD$ равносторонний, $\angle ADB = 60^{\circ}$.

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle ODH$ катет $DH$, прилежащий к углу $60^{\circ}$, равен:
$DH = OD \cdot \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}AD \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}AD$.

5. Таким образом, точка $H$ (основание перпендикуляра) делит сторону $AD$ в отношении $AH:HD = (AD - DH):DH = (\frac{3}{4}AD) : (\frac{1}{4}AD) = 3:1$.

Построение изображения

При параллельном проецировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Следовательно, изображение точки $H$, точка $H_1$, будет делить изображение стороны $AD$, отрезок $A_1D_1$, в том же отношении $A_1H_1 : H_1D_1 = 3:1$. Изображением точки пересечения диагоналей $O$ является точка пересечения диагоналей параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, точка $O_1$.
Построение выполняется в следующем порядке:

1. В данном параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ проводим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Точку их пересечения обозначаем $O_1$.
2. Строим точку $H_1$ на отрезке $A_1D_1$ так, чтобы она делила его в отношении $A_1H_1:H_1D_1 = 3:1$. Для этого можно использовать теорему Фалеса:
   • Из точки $A_1$ проводим произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $A_1D_1$.
   • На луче $l$ от точки $A_1$ откладываем четыре равных отрезка произвольной длины: $A_1K_1 = K_1K_2 = K_2K_3 = K_3K_4$.
   • Соединяем точку $K_4$ с точкой $D_1$.
   • Через точку $K_3$ проводим прямую, параллельную отрезку $K_4D_1$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $A_1D_1$ и будет искомой точкой $H_1$.
3. Соединяем точки $O_1$ и $H_1$. Отрезок $O_1H_1$ и есть искомое изображение перпендикуляра.

Ответ: Искомым изображением перпендикуляра является отрезок $O_1H_1$, где $O_1$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, а точка $H_1$ лежит на стороне $A_1D_1$ и делит ее в отношении $A_1H_1:H_1D_1 = 3:1$.