Номер 34, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 34, страница 72.

Условие.

7.34. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$, точка $A_1$ – изображение точки $A$ окружности (рис. 7.38). Постройте изображение касательной к данной окружности, проходящей через точку $A$.

Рис. 7.37

Рис. 7.38

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$, а точка $A_1$ — изображением точки $A$ на окружности, то искомое изображение касательной будет касательной к эллипсу в точке $A_1$. Это следует из свойства инвариантности касания при параллельном проектировании.

Для построения воспользуемся свойством сопряженных диаметров эллипса. В исходной окружности касательная в точке $A$ перпендикулярна диаметру, проходящему через эту точку. Назовем этот диаметр $AD$. Если мы построим другой диаметр $BC$, перпендикулярный $AD$, то касательная в точке $A$ будет параллельна диаметру $BC$.

При параллельном проектировании перпендикулярные диаметры окружности ($AD$ и $BC$) переходят в сопряженные диаметры эллипса ($A_1D_1$ и $B_1C_1$), а параллельные прямые — в параллельные. Следовательно, искомая касательная в точке $A_1$ будет параллельна диаметру $B_1C_1$, который сопряжен диаметру $A_1D_1$.

Таким образом, задача сводится к построению диаметра, сопряженного диаметру, проходящему через точку $A_1$.

Построение выполняется в следующем порядке:
1. Проводим прямую через данную точку $A_1$ и центр эллипса $O_1$. Находим вторую точку пересечения этой прямой с эллипсом, $D_1$. Отрезок $A_1D_1$ — диаметр эллипса.
2. Проводим произвольную хорду $M_1N_1$, параллельную диаметру $A_1D_1$.
3. Находим середину $K_1$ хорды $M_1N_1$.
4. Проводим прямую через центр $O_1$ и точку $K_1$. Эта прямая пересечет эллипс в точках $B_1$ и $C_1$. Диаметр $B_1C_1$ является сопряженным к диаметру $A_1D_1$.
5. Проводим через точку $A_1$ прямую, параллельную диаметру $B_1C_1$.

Построенная прямая и будет искомым изображением касательной.

Ответ: Изображением касательной к окружности в точке $A$ является прямая, проходящая через точку $A_1$ и параллельная диаметру эллипса, сопряженному диаметру, проходящему через точку $A_1$.