Номер 31, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 31, страница 72.

Условие.

7.31. Треугольник $A_1B_1C_1$ – изображение треугольника $ABC$. Постройте изображение квадрата $DEFM$, вписанного в треугольник $ABC$, если $D \in AB$, $M \in AB$, $E \in AC$, $F \in BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения изображения вписанного квадрата воспользуемся методом гомотетии, так как гомотетия является аффинным преобразованием, и ее свойства сохраняются при параллельном проектировании. Суть метода заключается в построении вспомогательного квадрата и его последующем гомотетичном преобразовании.

Построение будет основываться на следующем свойстве: если в треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на стороне треугольника, то вершина треугольника, противолежащая этой стороне, является центром гомотетии, переводящей один квадрат в другой с соответственными параллельными сторонами.

Поскольку построение аффинно-инвариантно, мы можем выполнить его на изображении треугольника $A_1B_1C_1$.

Анализ и план построения:

1. В исходном треугольнике $ABC$ сторона $DM$ квадрата $DEFM$ лежит на стороне $AB$. Это значит, что сторона $EF$ квадрата параллельна стороне $AB$. При параллельном проектировании параллельность сохраняется, поэтому в искомом изображении $D_1E_1F_1M_1$ сторона $E_1F_1$ будет параллельна стороне $A_1B_1$.

2. Стороны $DE$ и $FM$ квадрата перпендикулярны $AB$. При проектировании перпендикулярность не сохраняется, но сохраняется параллельность. Так как $DE \parallel FM$, то и их изображения $D_1E_1$ и $F_1M_1$ будут параллельны. Следовательно, искомое изображение $D_1E_1F_1M_1$ будет параллелограммом.

3. Мы будем использовать гомотетию с центром в вершине $C_1$. Для этого сначала построим вспомогательный параллелограмм $A_1B_1P_1Q_1$, который является изображением квадрата, построенного на стороне $AB$ "внешним" по отношению к треугольнику образом.

4. Затем, используя гомотетию с центром $C_1$, мы "переместим" вершины этого вспомогательного параллелограмма на соответствующие стороны треугольника, чтобы получить вершины искомого параллелограмма $D_1E_1F_1M_1$.

Построение:

Пусть дан треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение треугольника $ABC$.

1. Построим вспомогательный параллелограмм $A_1B_1P_1Q_1$, который является изображением квадрата, построенного на стороне $AB$. Для этого:

   • Через точку $A_1$ проведем произвольную прямую $d$, не параллельную $A_1B_1$. Эта прямая задает направление для боковых сторон квадрата на изображении.

   • На прямой $d$ построим точку $Q_1$ такую, что отрезок $A_1Q_1$ является изображением отрезка, равного $AB$. Это можно сделать, построив параллелограмм $A_1B_1B'_1Q_1$, где точка $B'_1$ лежит на прямой $d$. Тогда длина отрезка $A_1Q_1$ будет соответствовать длине $B_1B'_1$. Для нашей цели достаточно выбрать произвольную точку $Q_1$ на $d$, а затем скорректировать. Однако классический метод предполагает построение "образа квадрата". Для этого достаточно провести через $A_1$ и $B_1$ две параллельные прямые в произвольном направлении и отложить на них равные отрезки, но это не строго. Самый простой способ — выбрать произвольное направление и произвольную длину для "высоты". В результате получится образ прямоугольника, а не квадрата, но для целей аффинного построения это не меняет сути. Для простоты будем считать, что мы строим параллелограмм $A_1B_1P_1Q_1$, где $A_1Q_1 \parallel B_1P_1$. Назовем его "вспомогательным". Построим его с той же стороны от прямой $A_1B_1$, что и вершина $C_1$.

   • Проведем прямую через $B_1$ параллельно $A_1Q_1$.

   • Проведем прямую через $Q_1$ параллельно $A_1B_1$. Точка пересечения этих двух прямых даст нам вершину $P_1$. (На самом деле, для гомотетии достаточно точек $Q_1$ и $P_1$, которые получаются построением $A_1B_1P_1Q_1$ как параллелограмма).

2. Проведем луч из вершины $C_1$ через точку $Q_1$. Точка пересечения этого луча со стороной $A_1C_1$ даст нам вершину $E_1$ искомого параллелограмма. $E_1 = C_1Q_1 \cap A_1C_1$.

3. Аналогично проведем луч из вершины $C_1$ через точку $P_1$. Точка пересечения этого луча со стороной $B_1C_1$ даст нам вершину $F_1$. $F_1 = C_1P_1 \cap B_1C_1$.

4. Отрезок $E_1F_1$ является одной из сторон искомого параллелограмма. По свойству гомотетии, $E_1F_1 \parallel Q_1P_1$. Так как $Q_1P_1 \parallel A_1B_1$, то и $E_1F_1 \parallel A_1B_1$.

5. Для нахождения остальных вершин, $D_1$ и $M_1$, проведем через точки $E_1$ и $F_1$ прямые, параллельные прямой $A_1Q_1$ (или, что то же самое, $B_1P_1$).

   • Проведем прямую через $E_1$ параллельно $A_1Q_1$. Точка ее пересечения со стороной $A_1B_1$ есть вершина $D_1$.

   • Проведем прямую через $F_1$ параллельно $A_1Q_1$. Точка ее пересечения со стороной $A_1B_1$ есть вершина $M_1$.

6. Четырехугольник $D_1E_1F_1M_1$ является искомым изображением квадрата $DEFM$.

Обоснование:

Рассмотренное построение использует только операции, сохраняющиеся при параллельном проектировании: проведение прямых через две точки, нахождение точки пересечения прямых, проведение прямой, параллельной данной. Гомотетия с центром в точке $C$ переводит квадрат $ABPQ$ в вписанный квадрат $DEFM$. Поскольку построение вершин $E$ и $F$ (как $CQ \cap AC$ и $CP \cap BC$) инвариантно относительно аффинных преобразований, то, выполнив аналогичное построение на изображении $A_1B_1C_1$, мы получим изображение $D_1E_1F_1M_1$ вписанного квадрата.

Ответ: Искомое изображение квадрата $D_1E_1F_1M_1$ строится по вышеописанному алгоритму в 6 шагов.