Номер 37, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 37, страница 72.

Условие.

7.37. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$. Постройте изображение квадрата:

1) вписанного в данную окружность;

2) описанного около данной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ при параллельном проецировании, то центр окружности $O$ изображается центром эллипса $O_1$.

Ключевым свойством, которое мы будем использовать, является то, что пара взаимно перпендикулярных диаметров окружности изображается в виде пары сопряженных диаметров эллипса. Сопряженные диаметры эллипса — это пара диаметров, таких что касательные к эллипсу в концах одного диаметра параллельны другому диаметру.

1) вписанного в данную окружность

Диагонали квадрата, вписанного в окружность, являются ее взаимно перпендикулярными диаметрами. Вершины квадрата являются концами этих диаметров.

При параллельном проецировании эти перпендикулярные диаметры перейдут в сопряженные диаметры эллипса, а вершины квадрата — в концы этих сопряженных диаметров. Следовательно, изображением вписанного квадрата будет параллелограмм, вершины которого лежат на эллипсе.

Построение:
1. В данном эллипсе с центром $O_1$ проводим произвольный диаметр $A_1C_1$.
2. Строим сопряженный ему диаметр $B_1D_1$. Для этого можно провести любую хорду, параллельную $A_1C_1$, найти ее середину, и провести прямую через эту середину и центр эллипса $O_1$. Точки пересечения этой прямой с эллипсом и будут концами сопряженного диаметра $B_1$ и $D_1$.
3. Соединяем последовательно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

Полученный параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ и есть искомое изображение вписанного квадрата.

Ответ: Изображением квадрата, вписанного в окружность, является параллелограмм, вершины которого лежат на эллипсе, а диагонали являются парой сопряженных диаметров этого эллипса.

2) описанного около данной окружности

Стороны квадрата, описанного около окружности, касаются ее в точках, которые являются концами двух взаимно перпендикулярных диаметров. Каждая сторона квадрата параллельна тому диаметру, в концах которого лежат точки касания двух других сторон.

Так как при параллельном проецировании сохраняется касание и параллельность, то изображением описанного квадрата будет параллелограмм, стороны которого касаются эллипса в концах двух сопряженных диаметров.

Построение:
1. В данном эллипсе с центром $O_1$ проводим произвольную пару сопряженных диаметров $K_1M_1$ и $L_1N_1$.
2. Через концы каждого диаметра проводим прямые, параллельные сопряженному ему диаметру:
- через точки $K_1$ и $M_1$ проводим прямые, параллельные диаметру $L_1N_1$;
- через точки $L_1$ и $N_1$ проводим прямые, параллельные диаметру $K_1M_1$.
3. Эти четыре прямые, касающиеся эллипса в точках $K_1, M_1, L_1, N_1$, образуют параллелограмм.

Этот параллелограмм является искомым изображением описанного квадрата.

Ответ: Изображением квадрата, описанного около окружности, является параллелограмм, стороны которого касаются эллипса в концах пары его сопряженных диаметров.