Номер 30, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 30, страница 72.

Условие.

7.30. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ – изображение ромба $ABCD$, в котором $\angle A = 60^{\circ}$. Постройте изображение высоты ромба, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $ABCD$ — исходный ромб, а $A_1B_1C_1D_1$ — его изображение в виде параллелограмма. Нам нужно построить изображение высоты $AH$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.

1. Анализ свойств исходной фигуры (ромба).

В ромбе $ABCD$ все стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Угол при вершине $A$ равен $∠A = 60°$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180°$, поэтому $∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$.

Так как угол $∠ABC = 120°$ является тупым, основание высоты $H$, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$, будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABH$. В нём $∠AHB = 90°$. Угол $∠ABH$ является смежным с углом $∠ABC$, следовательно, $∠ABH = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°$.

Из треугольника $ΔABH$ находим катет $BH$, лежащий против угла $∠BAH = 30°$:

$BH = AB \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} AB$

Поскольку в ромбе $AB = BC$, мы получаем ключевое соотношение:

$BH = \frac{1}{2} BC$

Это означает, что точка $H$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$, и расстояние $BH$ равно половине длины стороны $BC$.

2. Построение изображения высоты.

При параллельном проецировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Точки $B, C, H$ лежат на одной прямой, и их изображения $B_1, C_1, H_1$ также будут лежать на одной прямой.

Соотношение $BH = \frac{1}{2} BC$ сохранится и для их изображений:

$B_1H_1 = \frac{1}{2} B_1C_1$

Таким образом, для построения изображения высоты $A_1H_1$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти середину стороны $B_1C_1$ изображения. Обозначим её $M_1$. Тогда длина отрезка $B_1M_1$ равна половине длины стороны $B_1C_1$.
2. На прямой, содержащей сторону $B_1C_1$, отложить от точки $B_1$ в сторону, противоположную точке $C_1$, отрезок $B_1H_1$, равный по длине отрезку $B_1M_1$.
3. Соединить точку $A_1$ с построенной точкой $H_1$.

Полученный отрезок $A_1H_1$ и есть искомое изображение высоты ромба, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.

Ответ: Отрезок $A_1H_1$, где точка $H_1$ лежит на продолжении стороны $B_1C_1$ за вершину $B_1$ и удовлетворяет условию $B_1H_1 = \frac{1}{2} B_1C_1$, является изображением высоты ромба.