Номер 23, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 23, страница 71.

Условие.

7.23. Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан отрезок $AB$ и плоскость проектирования $\alpha$. По условию задачи, отрезок $AB$ параллелен плоскости $\alpha$, то есть прямая, содержащая отрезок $AB$, параллельна плоскости $\alpha$.
Параллельной проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $A_1B_1$, где $A_1$ и $B_1$ — проекции точек $A$ и $B$ соответственно. (Мы предполагаем, что отрезок $AB$ не параллелен направлению проектирования, иначе его проекцией была бы точка).
По определению параллельного проектирования, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны некоторой прямой $l$, задающей направление проектирования. Из этого следует, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$.
Так как две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ задают единственную плоскость, то точки $A, B, B_1, A_1$ лежат в одной плоскости (назовем её $\beta$). Таким образом, четырехугольник $ABB_1A_1$ является плоской фигурой.
Прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, и по условию она параллельна плоскости $\alpha$. Прямая $A_1B_1$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($A_1B_1$) параллельна данной прямой ($AB$). Следовательно, $AB \parallel A_1B_1$.
Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы установили, что его противолежащие стороны попарно параллельны:
1. $AA_1 \parallel BB_1$ (по определению параллельного проектирования).
2. $AB \parallel A_1B_1$ (как было доказано выше).
Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $ABB_1A_1$ — параллелограмм.
По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны по длине. Следовательно, $|AB| = |A_1B_1|$.
Таким образом, мы доказали, что параллельной проекцией отрезка, который параллелен плоскости проектирования, является отрезок, равный по длине исходному отрезку, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельная проекция — это отрезок, равный по длине данному отрезку.