Номер 20, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 20, страница 70.

Условие.

7.20. На рисунке 7.33 изображён тетраэдр $DABC$, на ребре $AB$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно:

1) вершины $A$; 2) точки $M$.

Рис. 7.31

Рис. 7.32

Рис. 7.33

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) вершины A;

Центральная симметрия относительно точки (центра) $O$ — это преобразование пространства, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что $O$ является серединой отрезка $PP'$. Векторно это условие можно записать как $\vec{OP'} = -\vec{OP}$.

В данном случае центром симметрии является вершина $A$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, нужно построить образы его вершин $D, A, B, C$. Обозначим их $D', A', B', C'$ соответственно.

1. Построение образа вершины A:
Поскольку точка $A$ является центром симметрии, она отображается сама на себя. Таким образом, $A' = A$.

2. Построение образа вершины B:
Точка $B'$ должна быть симметрична точке $B$ относительно $A$. Это означает, что $A$ — середина отрезка $BB'$. Для построения точки $B'$ нужно провести луч $BA$ и отложить на нем от точки $A$ отрезок $AB'$ равный отрезку $AB$. Векторно: $\vec{AB'} = -\vec{AB}$.

3. Построение образа вершины C:
Аналогично, точка $A$ является серединой отрезка $CC'$. Проводим луч $CA$ и откладываем на нем от точки $A$ отрезок $AC'$ равный отрезку $AC$. Векторно: $\vec{AC'} = -\vec{AC}$.

4. Построение образа вершины D:
Точка $A$ является серединой отрезка $DD'$. Проводим луч $DA$ и откладываем на нем от точки $A$ отрезок $AD'$ равный отрезку $AD$. Векторно: $\vec{AD'} = -\vec{AD}$.

5. Построение итогового тетраэдра:
Соединив полученные точки $A', B', C', D'$, мы получим искомый тетраэдр $A'B'C'D'$, который является образом тетраэдра $DABC$. Так как $A' = A$, искомый тетраэдр — это $AB'C'D'$.

Ответ: Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно вершины $A$, необходимо построить точки $B', C', D'$, симметричные соответственно точкам $B, C, D$ относительно точки $A$. Вершина $A$ при этом отобразится сама в себя. Искомым образом будет тетраэдр $AB'C'D'$.

2) точки M.

В этом случае центром симметрии является точка $M$, лежащая на ребре $AB$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, нужно построить образы его вершин $A, B, C, D$ относительно точки $M$. Обозначим их $A'', B'', C'', D''$ соответственно. Для любой вершины $P$ ее образ $P''$ строится так, что точка $M$ является серединой отрезка $PP''$. Векторно: $\vec{MP''} = -\vec{MP}$.

1. Построение образа вершины A:
Проводим луч $AM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MA''$, равный отрезку $AM$. Точка $A''$ будет лежать на прямой $AB$.

2. Построение образа вершины B:
Проводим луч $BM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MB''$, равный отрезку $MB$. Точка $B''$ также будет лежать на прямой $AB$.

3. Построение образа вершины C:
Проводим луч $CM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MC''$, равный отрезку $MC$.

4. Построение образа вершины D:
Проводим луч $DM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MD''$, равный отрезку $MD$.

5. Построение итогового тетраэдра:
Соединив полученные точки $A'', B'', C'', D''$, мы получим искомый тетраэдр $A''B''C''D''$, который является образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$.

Ответ: Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$, необходимо для каждой вершины $P \in \{A, B, C, D\}$ построить симметричную ей точку $P''$ относительно центра $M$. Это делается построением отрезка $P''M$, равного отрезку $PM$, на луче, дополнительном к лучу $PM$. Искомым образом будет тетраэдр, образованный вершинами $A'', B'', C'', D''$.