Номер 14, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 14, страница 70.

Условие.

7.14. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением правильного треугольника $ABC$ (рис. 7.28). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Рис. 7.28

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку исходный треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), то его центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с точкой пересечения его медиан (центроидом).

При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это свойство имеет важное следствие: середина отрезка проектируется в середину его изображения. Таким образом, медиана треугольника (отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны) при проектировании переходит в медиану его изображения. Так как точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, и это отношение сохраняется при проектировании, то изображение центроида исходного треугольника является центроидом его изображения.

Следовательно, чтобы построить изображение центра вписанной окружности правильного треугольника $ABC$, необходимо построить центроид его изображения — треугольника $A_1B_1C_1$. Для этого нужно найти точку пересечения его медиан.

Построение выполняется следующим образом:

1. Находим середину одной из сторон треугольника $A_1B_1C_1$, например, стороны $A_1B_1$. Обозначим эту точку $M_1$.
2. Соединяем точку $M_1$ с противолежащей вершиной $C_1$. Отрезок $C_1M_1$ является медианой треугольника $A_1B_1C_1$.
3. Находим середину другой стороны, например, $B_1C_1$. Обозначим эту точку $K_1$.
4. Соединяем точку $K_1$ с противолежащей вершиной $A_1$. Отрезок $A_1K_1$ является второй медианой.
5. Точка пересечения медиан $C_1M_1$ и $A_1K_1$ и есть искомое изображение центра вписанной окружности.

Ответ: Изображением центра вписанной в правильный треугольник $ABC$ окружности является точка пересечения медиан (центроид) его изображения — треугольника $A_1B_1C_1$.