Номер 18, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 18, страница 70.

Условие.

7.18. Эллипс с центром $O_1$ и отрезок $A_1B_1$ являются изображением окружности с центром $O$ и её хорды $AB$ (рис. 7.31). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде $AB$.

Рис. 7.31

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи используются свойства окружности и свойства параллельного проектирования. В окружности диаметр, перпендикулярный хорде, всегда проходит через середину этой хорды. Пусть исходная хорда — $AB$, а ее середина — точка $M$. Диаметр $CD$, перпендикулярный хорде $AB$, проходит через центр окружности $O$ и точку $M$.

При параллельном проектировании сохраняется свойство «быть серединой отрезка». Это означает, что изображение середины отрезка совпадает с серединой изображения этого отрезка. Следовательно, середина $M_1$ отрезка $A_1B_1$ (который является изображением хорды $AB$) есть изображение середины $M$ хорды $AB$. Изображением центра окружности $O$ является центр эллипса $O_1$.

Так как исходный диаметр $CD$ лежал на прямой, проходящей через точки $O$ и $M$, то его изображение будет лежать на прямой, проходящей через изображения этих точек — $O_1$ и $M_1$.

Таким образом, алгоритм построения искомого изображения диаметра следующий:

1. Построить середину $M_1$ отрезка $A_1B_1$. Это можно выполнить с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $A_1B_1$ и будет его серединой $M_1$.

2. Провести прямую через центр эллипса $O_1$ и найденную точку $M_1$.

3. Отрезок этой прямой, концы которого принадлежат эллипсу, и является искомым изображением диаметра.

Ответ: Искомым изображением диаметра является хорда эллипса, проходящая через его центр $O_1$ и середину изображения данной хорды $A_1B_1$.