Номер 24, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 24, страница 71.

Условие.

7.24. Докажите, что если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проектирования, то её параллельной проекцией является фигура, равная данной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждения рассмотрим основные свойства параллельного проектирования и определения равных фигур.

Пусть дана фигура $F$, которая целиком лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость проектирования обозначим как $\beta$, и по условию задачи $\alpha \parallel \beta$. Проектирование является параллельным, что означает, что все проектирующие прямые параллельны некоторой прямой $l$. Прямая $l$ не может быть параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$, иначе проекцией всей плоскости $\alpha$ была бы одна прямая или точка.

Чтобы доказать, что проекция фигуры $F$ (обозначим ее $F'$) равна самой фигуре $F$, необходимо показать, что расстояние между любыми двумя точками в фигуре $F$ равно расстоянию между их соответствующими проекциями в фигуре $F'$. Преобразование, сохраняющее расстояния, называется движением или изометрией, и оно переводит фигуру в равную ей фигуру.

1. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$, принадлежащие фигуре $F$. Поскольку $F \subset \alpha$, то и $A \in \alpha$, и $B \in \alpha$.

2. Пусть $A'$ и $B'$ — это параллельные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\beta$. По определению, $A' \in \beta$ и $B' \in \beta$.

3. Проектирующие прямые $AA'$ и $BB'$ по определению параллельного проектирования параллельны направляющей прямой $l$, а значит, они параллельны друг другу: $AA' \parallel BB'$.

4. Рассмотрим четырехугольник $ABB'A'$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $A'$ и $B'$ — в плоскости $\beta$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямые $AA'$ и $BB'$ также параллельны, то отрезки $AA'$ и $BB'$, заключенные между параллельными плоскостями, равны. То есть, $AA' = BB'$.

5. В четырехугольнике $ABB'A'$ две стороны $AA'$ и $BB'$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом.

6. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно, длина стороны $AB$ равна длине противолежащей стороны $A'B'$: $AB = A'B'$.

Поскольку точки $A$ и $B$ были выбраны произвольно из фигуры $F$, мы доказали, что расстояние между любыми двумя точками фигуры $F$ сохраняется при параллельном проектировании на параллельную плоскость. Это означает, что данное преобразование является изометрией (движением). А движение переводит фигуру в равную ей фигуру.

Таким образом, фигура $F'$, являющаяся проекцией фигуры $F$, равна исходной фигуре $F$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Так как при параллельном проектировании фигуры, лежащей в плоскости $\alpha$, на параллельную ей плоскость $\beta$, расстояние между любыми двумя точками фигуры сохраняется, то такое преобразование является движением. Движение переводит фигуру в равную ей фигуру, следовательно, проекция фигуры равна самой фигуре.