Номер 26, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 26, страница 71.

Условие.

7.26. Треугольник $A_1B_1C_1$ – изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $AB : AC = 5 : 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы построить изображение центра вписанной окружности, необходимо сначала найти его положение в оригинальном треугольнике (прообразе), а затем, используя свойства параллельного проецирования, выполнить построение на изображении.

Анализ

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Обозначим инцентр буквой $O$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его медиана $BM$, проведенная из вершины $B$ к середине $M$ основания $AC$, является также биссектрисой угла $\angle ABC$ и высотой. Это означает, что центр вписанной окружности $O$ лежит на медиане $BM$.

Чтобы определить точное положение точки $O$ на медиане $BM$, рассмотрим биссектрису $AO$ угла $\angle BAC$. Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис $BM$ и $AO$. Применим теорему о свойстве биссектрисы к треугольнику $ABM$ и биссектрисе $AO$. Эта теорема гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Таким образом, получаем соотношение:

$\frac{BO}{OM} = \frac{AB}{AM}$

Из условия задачи нам известно, что $AB : AC = 5 : 4$. Мы можем принять длины сторон равными $AB = 5x$ и $AC = 4x$ для некоторого масштаба $x$.

Так как $M$ — середина стороны $AC$, то длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$:

$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(4x) = 2x$

Теперь мы можем вычислить искомое отношение:

$\frac{BO}{OM} = \frac{AB}{AM} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$

Следовательно, центр вписанной окружности $O$ делит медиану $BM$ в отношении $5:2$, считая от вершины $B$.

Построение

При параллельном проецировании сохраняется принадлежность точек прямым и отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это значит, что изображение центра вписанной окружности $O_1$ будет лежать на изображении медианы $B_1M_1$ и делить её в том же отношении $5:2$.

Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Находим середину $M_1$ стороны $A_1C_1$ данного треугольника $A_1B_1C_1$.
2. Проводим отрезок $B_1M_1$, который является изображением медианы $BM$. Искомая точка $O_1$ лежит на этом отрезке.
3. Делим отрезок $B_1M_1$ в отношении $5:2$, считая от точки $B_1$. Для этого используем теорему Фалеса:
   • Из точки $B_1$ проводим произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $B_1M_1$.
   • На этом луче от точки $B_1$ откладываем $5+2=7$ равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы отрезков как $P_1, P_2, \dots, P_7$.
   • Соединяем точку $P_7$ с точкой $M_1$.
   • Через точку $P_5$ проводим прямую, параллельную отрезку $P_7M_1$.
   • Точка пересечения построенной прямой с отрезком $B_1M_1$ и будет искомой точкой $O_1$.

Построенная точка $O_1$ является изображением центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ: Изображение центра вписанной окружности — это точка $O_1$, которая лежит на медиане $B_1M_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ (проведенной к стороне $A_1C_1$) и делит ее в отношении $B_1O_1 : O_1M_1 = 5 : 2$.