Номер 32, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 32, страница 72.

Условие.

7.32. Треугольник $A_1B_1C_1$ – изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение квадрата, стороной которого является отрезок $AB$, если этот квадрат лежит в плоскости $ABC$ и расположен вне треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Необходимо построить изображение квадрата $ABDE$, сторона которого $AB$ является гипотенузой треугольника, и который лежит в той же плоскости, что и треугольник, но вне его.

Для построения проанализируем свойства исходной геометрической фигуры в плоскости.

В исходном треугольнике $ABC$, поскольку он прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$) и равнобедренный ($AC = BC$), медиана $CM$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$, равна половине гипотенузы: $CM = \frac{1}{2}AB$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.

Рассмотрим квадрат $ABDE$, построенный на стороне $AB$. Пусть $O$ — его центр (точка пересечения диагоналей), а $M$ — середина стороны $AB$. Отрезок $OM$, соединяющий центр квадрата с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне ($OM \perp AB$) и равен половине ее длины ($OM = \frac{1}{2}AB$).

Таким образом, точки $C$ и $O$ лежат на одной прямой — перпендикуляре к отрезку $AB$, проходящем через его середину $M$. По условию, квадрат расположен вне треугольника, значит, точки $C$ и $O$ находятся по разные стороны от прямой $AB$. Так как $CM = OM = \frac{1}{2}AB$, точка $M$ является серединой отрезка $CO$.

Свойства параллельного проецирования, такие как сохранение параллельности прямых и сохранение отношения длин отрезков на одной прямой (в частности, середина отрезка проецируется в середину его изображения), позволяют использовать эти геометрические соотношения для построения.

Построение:

1. Находим точку $M_1$ — середину отрезка $A_1B_1$. Точка $M_1$ является изображением середины $M$ гипотенузы $AB$.
2. Проводим прямую через точки $C_1$ и $M_1$. На продолжении отрезка $C_1M_1$ за точку $M_1$ откладываем отрезок $M_1O_1$, равный отрезку $C_1M_1$. Так как $M$ — середина $CO$, то $M_1$ — середина $C_1O_1$. Полученная точка $O_1$ является изображением центра квадрата $O$.
3. Центр квадрата является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам. Это свойство сохраняется при проецировании. Следовательно, $O_1$ — середина изображений диагоналей $A_1E_1$ и $B_1D_1$.
4. Для построения вершины $D_1$ проводим прямую через точки $B_1$ и $O_1$ и на ее продолжении за точку $O_1$ откладываем отрезок $O_1D_1$, равный отрезку $B_1O_1$.
5. Аналогично, для построения вершины $E_1$ проводим прямую через точки $A_1$ и $O_1$ и на ее продолжении за точку $O_1$ откладываем отрезок $O_1E_1$, равный отрезку $A_1O_1$.
6. Соединяем точки $A_1, B_1, D_1, E_1$ отрезками. Четырехугольник $A_1B_1D_1E_1$ (являющийся параллелограммом) и есть искомое изображение квадрата.

Ответ: Четырехугольник $A_1B_1D_1E_1$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым изображением квадрата.