Номер 33, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 33, страница 72.

Условие.

7.33. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 7.37), отрезок $A_1B_1$ – изображение диаметра $AB$ данной окружности. Постройте изображение диаметра, перпендикулярного диаметру $AB$.

Рис. 7.37

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи используется свойство параллельного проецирования, согласно которому изображения перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженными диаметрами эллипса. Следовательно, задача сводится к построению диаметра эллипса, сопряженного данному диаметру $A_1B_1$.

Сопряженные диаметры обладают свойством, что каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому. Это свойство и будет использовано для построения.

Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Проведем в эллипсе произвольную хорду $M_1N_1$, параллельную данному диаметру $A_1B_1$. Для этого достаточно выбрать на эллипсе произвольную точку $M_1$ и провести через нее прямую, параллельную $A_1B_1$, до второго пересечения с эллипсом в точке $N_1$.
2. Найдем середину $K_1$ хорды $M_1N_1$.
3. Проведем прямую через центр эллипса $O_1$ и найденную точку $K_1$.
4. Отрезок, который отсекает эллипс на этой прямой, и будет искомым диаметром. Обозначим его концы как $C_1$ и $D_1$.

Построенный диаметр $C_1D_1$ по определению является сопряженным диаметру $A_1B_1$, так как он проходит через середину хорды $M_1N_1$, параллельной $A_1B_1$. Поскольку сопряженные диаметры эллипса являются изображением перпендикулярных диаметров исходной окружности, то диаметр $C_1D_1$ — это и есть искомое изображение диаметра, перпендикулярного диаметру $AB$.

Ответ: Искомый диаметр $C_1D_1$ — это диаметр эллипса, который проходит через его центр $O_1$ и середину любой хорды, параллельной данному диаметру $A_1B_1$.