Номер 38, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 38, страница 72.

Условие.

7.38. Существует ли пятиугольник, отличный от правильного, каждая диагональ которого параллельна некоторой стороне?

Решение 1.

Решение 3.

Да, такой пятиугольник существует.

Рассмотрим сначала правильный пятиугольник $ABCDE$. В нём каждая диагональ параллельна одной из сторон. Например, диагональ $AC$ параллельна стороне $DE$, диагональ $BD$ параллельна стороне $AE$, и так далее для всех пяти диагоналей. Это свойство легко доказывается через равенство углов и равнобедренные трапеции, которые образуются сторонами и диагоналями (например, $ACDE$ — равнобедренная трапеция, так как $CD=AE$ и $\angle CDE = \angle AED$).

Теперь применим к правильному пятиугольнику аффинное преобразование, которое не является преобразованием подобия. Например, растяжение вдоль одной из осей. Пусть мы разместим правильный пятиугольник на координатной плоскости и применим преобразование $(x, y) \rightarrow (2x, y)$.

Аффинные преобразования обладают ключевым свойством: они сохраняют параллельность прямых. Это означает, что если до преобразования две прямые были параллельны, то их образы после преобразования также будут параллельны.

Таким образом, если в исходном правильном пятиугольнике диагональ $AC$ была параллельна стороне $DE$, то в новом, преобразованном пятиугольнике, образ диагонали $AC$ будет параллелен образу стороны $DE$. Это будет верно для каждой из пяти диагоналей.

При этом полученный пятиугольник не будет правильным. Растяжение только по одной оси нарушит равенство длин сторон и равенство углов. Например, если сторона $AB$ была горизонтальной, её длина увеличится в 2 раза, а если сторона $BC$ была наклонной, её длина изменится на другой коэффициент, и угол при вершине $B$ также изменится.

Следовательно, мы построили пятиугольник, отличный от правильного, у которого каждая диагональ параллельна некоторой стороне.

Ответ: Да, существует.