Номер 1, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 85.

Условие.

8.1. Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку:1) принадлежащую данной прямой;2) не принадлежащую данной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) принадлежащую данной прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой ($M \in a$). Через точку $M$ в пространстве можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой $a$.

Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$. Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, перпендикулярной данной прямой, такая плоскость существует и она единственна.

По определению, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, любая прямая, которая проходит через точку $M$ и лежит в плоскости $\alpha$, будет перпендикулярна прямой $a$. Так как в плоскости $\alpha$ через точку $M$ можно провести бесконечное множество прямых, то и в пространстве существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку $M$ и перпендикулярных данной прямой $a$.

Ответ: бесконечно много.

2) не принадлежащую данной прямой

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ и прямую $a$ можно провести плоскость, и притом только одну. Назовем эту плоскость $\beta$.

Задача сводится к планиметрической: в плоскости $\beta$ найти количество прямых, проходящих через точку $M$ и перпендикулярных прямой $a$, которая также лежит в этой плоскости. Из курса планиметрии известно, что из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Таким образом, в плоскости $\beta$ существует единственная прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $a$. Вне этой плоскости не может быть других таких прямых, так как любая прямая, проходящая через точку $M$ и пересекающая прямую $a$, будет лежать в плоскости $\beta$.

Ответ: одну.