Номер 3, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 85.

Условие.

8.3. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 8.8). Найдите угол между прямыми:

1) $AB$ и $BB_1$;

2) $AB$ и $B_1D$;

3) $A_1D$ и $BC$;

4) $B_1D_1$ и $C_1C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $AB$ и $BB_1$

Прямые $AB$ и $BB_1$ — это смежные рёбра куба, которые пересекаются в вершине $B$. Они лежат в одной грани — $ABB_1A_1$. Поскольку все грани куба являются квадратами, угол между смежными сторонами квадрата составляет $90^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $BB_1$ — это угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $AB$ и $B_1D_1$

Прямые $AB$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным. В кубе ребро $AB$ параллельно ребру $A_1B_1$. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $B_1D_1$.

Прямые $A_1B_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $B_1$ и обе лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_1D_1$, образованный в этой грани. Грань $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, поэтому $\angle B_1A_1D_1 = 90^\circ$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1D_1$ равны. Таким образом, $\triangle A_1B_1D_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны по $45^\circ$. Искомый угол $\angle A_1B_1D_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

3) $A_1D$ и $B_1C$

Прямые $A_1D$ и $B_1C$ являются диагоналями боковых граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Эти прямые скрещивающиеся. Рассмотрим четырёхугольник $A_1DCB_1$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, $A_1DCB_1$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому прямая $A_1D$ параллельна прямой $B_1C$. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

4) $B_1D_1$ и $C_1C$

Прямые $B_1D_1$ (диагональ верхней грани) и $C_1C$ (боковое ребро) являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $C_1C$ на прямую $B_1B$, так как в кубе $C_1C \parallel B_1B$. Тогда искомый угол будет равен углу между прямыми $B_1D_1$ и $B_1B$.

Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости ($A_1B_1$ и $B_1C_1$). Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $B_1B \perp B_1D_1$. Таким образом, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.