Номер 9, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 86.

Условие.

8.9. Известно, что $AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$ (рис. 8.11). Найдите отрезок $BC$, если $CD = 2\sqrt{43}$ см, $BD = 12$ см, $\angle ABD = 60^\circ$.

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи отрезки $AB$, $AC$ и $AD$ попарно перпендикулярны ($AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$). Это означает, что треугольники $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$ являются прямоугольными с общим прямым углом при вершине $A$. Решим задачу в три этапа.

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle BAD = 90^\circ$). Нам даны гипотенуза $BD = 12$ см и острый угол $\angle ABD = 60^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, найдем длины катетов $AB$ и $AD$:
$AB = BD \cdot \cos(\angle ABD) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
$AD = BD \cdot \sin(\angle ABD) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$ ($\angle CAD = 90^\circ$). Нам известна длина гипотенузы $CD = 2\sqrt{43}$ см, а длину катета $AD = 6\sqrt{3}$ см мы нашли на предыдущем шаге. По теореме Пифагора найдем длину катета $AC$:
$AC^2 + AD^2 = CD^2$
$AC^2 = CD^2 - AD^2 = (2\sqrt{43})^2 - (6\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 43) - (36 \cdot 3) = 172 - 108 = 64$
$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Наконец, найдем искомую длину отрезка $BC$. $BC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle BAC = 90^\circ$). Длины катетов $AB = 6$ см и $AC = 8$ см нам уже известны. Применим теорему Пифагора:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.