Номер 11, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 86.

Условие.

8.11. Точки E, F, M и K – середины соответственно рёбер AB, BC, AD и BD тетраэдра DABC (рис. 8.13). Найдите угол между прямыми EF и MK, если $\angle BAC = \alpha$.

Рис. 8.12

Рис. 8.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как точки $E$ и $F$ являются серединами рёбер $AB$ и $BC$ соответственно, отрезок $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $AC$.

$EF \parallel AC$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Точки $M$ и $K$ являются серединами рёбер $AD$ и $BD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, прямая $MK$ параллельна прямой $AB$.

$MK \parallel AB$

Угол между двумя скрещивающимися прямыми, в данном случае $EF$ и $MK$, по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.Поскольку мы установили, что $EF \parallel AC$ и $MK \parallel AB$, то искомый угол между прямыми $EF$ и $MK$ равен углу между прямыми $AC$ и $AB$.

Угол между прямыми $AC$ и $AB$ — это угол $\angle BAC$. По условию задачи нам дано, что $\angle BAC = \alpha$.

Таким образом, угол между прямыми $EF$ и $MK$ равен $\alpha$.

Ответ: $\alpha$.