Номер 16, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16, страница 87.

Условие.

8.16. Точки $E, F, M$ и $K$ – середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$. $AC = 12$ см, $BD = 16$ см, $FK = 2\sqrt{13}$ см. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим тетраэдр $DABC$. По условию, точки $E, F, M, K$ являются серединами ребер $AB, AD, CD, BC$ соответственно.

1. В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $EF$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BD$ и равна половине ее длины:
$EF \parallel BD$
$EF = \frac{1}{2}BD = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. В треугольнике $ABC$ отрезок $EK$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $EK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $EK$ параллельна $AC$ и равна половине ее длины:
$EK \parallel AC$
$EK = \frac{1}{2}AC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Поскольку $EF \parallel BD$ и $EK \parallel AC$, угол между прямыми $EF$ и $EK$ равен искомому углу между прямыми $AC$ и $BD$. Найдем этот угол, рассмотрев треугольник $EFK$.

В треугольнике $EFK$ нам известны длины всех трех сторон:
$EF = 8$ см
$EK = 6$ см
$FK = 2\sqrt{13}$ см (по условию)

Применим теорему косинусов для треугольника $EFK$, чтобы найти косинус угла $\angle FEK$:
$FK^2 = EF^2 + EK^2 - 2 \cdot EF \cdot EK \cdot \cos(\angle FEK)$

Подставим известные значения:
$(2\sqrt{13})^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(\angle FEK)$
$4 \cdot 13 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(\angle FEK)$
$52 = 100 - 96 \cdot \cos(\angle FEK)$

Выразим $96 \cdot \cos(\angle FEK)$:
$96 \cdot \cos(\angle FEK) = 100 - 52$
$96 \cdot \cos(\angle FEK) = 48$

Отсюда найдем косинус угла:
$\cos(\angle FEK) = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.
$\angle FEK = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.