Номер 4, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 94.

Условие.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Формулировка теоремы
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Развернутое доказательство

Дано:
Даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и плоскость $\alpha$.
Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Доказать:
Прямая $b$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($b \perp \alpha$).

Доказательство:
Для доказательства воспользуемся методом от противного.
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$.
Предположим, что прямая $b$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$. В таком случае через точку $B$ можно провести другую прямую, назовем ее $b'$, которая будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, по нашему предположению, $b' \perp \alpha$.
Рассмотрим прямые $a$ и $b'$. Обе они перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной плоскости, они параллельны друг другу. То есть, $a \parallel b'$.
Теперь мы имеем следующую ситуацию: через точку $B$ проходят две различные прямые, $b$ и $b'$, и обе они параллельны прямой $a$ (прямая $b$ параллельна $a$ по условию, а прямая $b'$ параллельна $a$ по нашему выводу).
Это утверждение противоречит аксиоме о параллельных прямых, которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следовательно, наше исходное предположение о том, что прямая $b$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, является ложным.
Это означает, что прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Теорема доказана.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.