Номер 18, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 87.

Условие.

8.18. Точка $D$ является образом вершины $B$ треугольника $ABC$ при симметрии относительно биссектрисы угла $BAC$. Найдите отрезок $CD$, если $AB = 4$ см, $AC = 7$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $BAC$. По условию, точка $D$ является образом вершины $B$ при симметрии относительно прямой $AL$.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Вершина $A$ лежит на оси симметрии $AL$. Согласно свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси до исходной точки равно расстоянию от этой же точки до ее образа. Следовательно, расстояние от точки $A$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $A$ до точки $D$.

$AD = AB$

Из условия задачи известно, что $AB = 4$ см, поэтому:

$AD = 4$ см.

Рассмотрим расположение точки $D$. При симметрии относительно биссектрисы угла один луч, образующий угол, отображается на другой. В данном случае, при симметрии относительно биссектрисы $AL$ угла $BAC$, луч $AB$ отображается на луч, содержащий точку $D$. Угол между лучом $AB$ и биссектрисой $AL$ равен углу между образом луча $AD$ и биссектрисой $AL$.

То есть, $\angle BAL = \angle DAL$.

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $BAC$, мы также знаем, что:

$\angle BAL = \angle CAL$.

Сравнивая два равенства, получаем:

$\angle DAL = \angle CAL$.

Так как лучи $AD$ и $AC$ исходят из одной и той же точки $A$ и образуют одинаковый угол с прямой $AL$, находясь по одну сторону от нее, эти лучи совпадают. Это означает, что точка $D$ лежит на луче $AC$.

Таким образом, точки $A$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой. Нам известны расстояния $AC = 7$ см и $AD = 4$ см. Поскольку $AD < AC$, точка $D$ лежит на отрезке $AC$.

Длину отрезка $CD$ можно найти как разность длин отрезков $AC$ и $AD$:

$CD = AC - AD = 7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}.$

Ответ: 3 см.