Номер 13, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 87.

Условие.

8.13. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, сторона которого равна $a$, боковое ребро параллелепипеда равно $a\sqrt{3}$. Найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Его основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a$, следовательно, $AD = a$. Боковое ребро равно $a\sqrt{3}$, так что $AA_1 = a\sqrt{3}$. Необходимо найти угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$.

Прямые $AD_1$ и $B_1C$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелепипедом, его противоположные грани параллельны и равны. В частности, грань $BCC_1B_1$ параллельна и равна грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $B_1C$ можно параллельно перенести так, чтобы он совпадал с отрезком $A_1D$. Таким образом, прямая $B_1C$ параллельна прямой $A_1D$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $AD_1$ и $A_1D$. Эти две прямые являются диагоналями прямоугольника $ADD_1A_1$.

Рассмотрим прямоугольник $ADD_1A_1$ со сторонами $AD = a$ и $AA_1 = a\sqrt{3}$. Найдем длину его диагоналей, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$. Отсюда длина диагонали $AD_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$. Диагонали прямоугольника равны, поэтому $A_1D = AD_1 = 2a$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AD_1$ и $A_1D$. В прямоугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно: $AO = OD = \frac{1}{2} A_1D = \frac{1}{2} \cdot 2a = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOD$. Мы знаем длины всех его сторон: $AD = a$, $AO = a$ и $OD = a$. Так как все стороны треугольника равны, то $\triangle AOD$ является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Угол $\angle AOD$ является одним из углов между диагоналями $AD_1$ и $A_1D$. Так как этот угол острый ($60^\circ < 90^\circ$), он и является углом между прямыми.

Ответ: $60^\circ$.