Номер 10, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 86.

Условие.

8.10. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$, точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно (рис. 8.12).

1) Докажите, что $MK \perp AB$ и $MK \perp CD$.

2) Найдите отрезок $MK$.

Рис. 8.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажите, что МК ⊥ АВ и МК ⊥ CD.
Так как тетраэдр $DABC$ правильный, все его грани — это равносторонние треугольники со стороной $a$.

Доказательство перпендикулярности $MK \perp AB$:
Рассмотрим треугольники $\Delta DAB$ и $\Delta CAB$.
В равностороннем треугольнике $\Delta DAB$ отрезок $DM$ является медианой, проведенной к стороне $AB$ (поскольку $M$ — середина $AB$). В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, следовательно, $DM \perp AB$.
Аналогично, в равностороннем треугольнике $\Delta CAB$ отрезок $CM$ является медианой и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.
Мы имеем прямую $AB$, которая перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $CM$. Эти прямые лежат в плоскости $(DMC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(DMC)$.
Отрезок $MK$ целиком лежит в плоскости $(DMC)$, так как его концы $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости ($M \in (DMC)$ и $K \in DC$, а $DC \subset (DMC)$).
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $MK \perp AB$.

Доказательство перпендикулярности $MK \perp CD$:
Рассмотрим треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta BCD$.
В равностороннем треугольнике $\Delta ACD$ отрезок $AK$ является медианой (так как $K$ — середина $CD$) и, следовательно, высотой. Значит, $AK \perp CD$.
Аналогично, в равностороннем треугольнике $\Delta BCD$ отрезок $BK$ является медианой и высотой. Значит, $BK \perp CD$.
Прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AK$ и $BK$, которые лежат в плоскости $(ABK)$. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(ABK)$.
Отрезок $MK$ целиком лежит в плоскости $(ABK)$, так как его концы $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости ($K \in (ABK)$ и $M \in AB$, а $AB \subset (ABK)$).
Следовательно, $MK \perp CD$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Найдите отрезок MK.
Рассмотрим треугольник $\Delta DMC$. Как было установлено в пункте 1, $DM$ и $CM$ — это высоты в равносторонних треугольниках $\Delta DAB$ и $\Delta CAB$ соответственно.
Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $DM = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Это означает, что треугольник $\Delta DMC$ является равнобедренным с основанием $DC = a$.
По условию, точка $K$ — середина основания $DC$. Таким образом, отрезок $MK$ является медианой, проведенной к основанию в равнобедренном треугольнике $\Delta DMC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда $MK \perp DC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta MKC$ (с прямым углом $K$). В нем:
- гипотенуза $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$;
- катет $CK = \frac{DC}{2} = \frac{a}{2}$.
По теореме Пифагора найдем катет $MK$:
$MK^2 = CM^2 - CK^2$
$MK^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$MK = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.