Номер 12, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 12, страница 87.

Условие.

8.12. Диагонали грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Прямые $OB_1$ и $A_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AC$ — диагональю нижней грани $ABCD$. Так как плоскости оснований куба параллельны ($ (ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1) $), то и соответствующие диагонали этих граней параллельны, то есть $A_1C_1 \parallel AC$.

Следовательно, угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$ равен углу между прямыми $OB_1$ и $AC$. Найдем этот угол.

Для нахождения угла между $OB_1$ и $AC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.
Рассмотрим плоскость основания $ABCD$.

• $BB_1$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.
• $OB_1$ — наклонная к плоскости $(ABCD)$.
• $OB$ — проекция наклонной $OB_1$ на плоскость $(ABCD)$.
• Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABCD)$.

В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Так как точка $O$ — точка их пересечения, и отрезок $OB$ является частью диагонали $BD$, то прямая $OB$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $OB \perp AC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($OB$) перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($OB_1$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OB_1 \perp AC$.

Мы установили, что угол между прямыми $OB_1$ и $AC$ равен $90^\circ$. Поскольку $AC \parallel A_1C_1$, то угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.