Номер 6, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 94.

Условие.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?

Решение 1.

Решение 3.

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно плоскости $\alpha$, если эта плоскость проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна этому отрезку.

Более подробно, для того чтобы точки были симметричны относительно плоскости, должны выполняться два условия:

1. Прямая, проходящая через точки $A$ и $A_1$, перпендикулярна плоскости симметрии $\alpha$. В виде формулы это записывается как $AA_1 \perp \alpha$.
2. Точка пересечения прямой $AA_1$ с плоскостью $\alpha$ (обозначим ее $M$) является серединой отрезка $AA_1$. Это означает, что расстояние от точки $A$ до плоскости равно расстоянию от точки $A_1$ до плоскости, то есть $AM = MA_1$. При этом точки $A$ и $A_1$ должны лежать по разные стороны от плоскости $\alpha$.

Таким образом, плоскость симметрии $\alpha$ является перпендикулярной биссекторной плоскостью для отрезка $AA_1$ (также ее называют медиатрисой отрезка в пространстве).

Следует также рассмотреть частный случай: если точка $A$ лежит в самой плоскости $\alpha$, то симметричной ей точкой относительно этой плоскости является сама точка $A$.

Ответ: Точки называют симметричными относительно плоскости, если эта плоскость перпендикулярна отрезку, соединяющему данные точки, и проходит через его середину.