Номер 2, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 94.

Условие.

9.2. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, из этого не следует, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В условии задачи сказано, что прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, которые принадлежат плоскости $\alpha$. Однако не уточнено взаимное расположение прямых $a$ и $b$. Они могут быть как пересекающимися, так и параллельными.

1. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $m$ действительно будет перпендикулярна плоскости $\alpha$.
2. Если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то утверждение не всегда верно. Можно привести контрпример: пусть плоскость $\alpha$ — это пол. На полу нарисованы две параллельные прямые $a$ и $b$. Прямая $m$ также лежит на полу и перпендикулярна прямым $a$ и $b$. В этом случае условие ($m \perp a$ и $m \perp b$) выполняется, но прямая $m$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, так как она сама лежит в этой плоскости.

Поскольку существует случай, когда условие выполняется, а вывод — нет (случай с параллельными прямыми), то сделать однозначный вывод о перпендикулярности прямой $m$ и плоскости $\alpha$ нельзя.

Ответ: Нет, не следует. Для того чтобы прямая $m$ была перпендикулярна плоскости $\alpha$, необходимо, чтобы прямые $a$ и $b$ были не только перпендикулярны прямой $m$ и лежали в плоскости $\alpha$, но и пересекались между собой. Условие задачи не гарантирует, что прямые $a$ и $b$ пересекаются (они могут быть параллельны).