Номер 9, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 95.

Условие.

9.9. Через центр $O$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости квадрата (рис. 9.19). Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $D$, если $AD = 4\sqrt{2}$ см, $MO = 2$ см.

Рис. 9.19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, ABCD — квадрат, O — его центр. Прямая MO перпендикулярна плоскости квадрата. Нам нужно найти расстояние от точки M до вершины D, то есть длину отрезка MD.

1. Найдем длину диагонали квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон. Сторона квадрата $AD = 4\sqrt{2}$ см.

$BD^2 = AD^2 + AB^2$

Так как ABCD — квадрат, то $AB = AD = 4\sqrt{2}$ см.

$BD^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 + 16 \cdot 2 = 32 + 32 = 64$ см$^2$.

$BD = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Центр квадрата O является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам. Следовательно, отрезок OD равен половине диагонали BD.

$OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. По условию, прямая MO перпендикулярна плоскости квадрата (MO ⊥ (ABC)). Это означает, что MO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $MO \perp OD$. Таким образом, треугольник MOD является прямоугольным с прямым углом при вершине O.

4. Найдем искомое расстояние MD, которое является гипотенузой в прямоугольном треугольнике MOD, по теореме Пифагора. Катеты этого треугольника — $MO = 2$ см (по условию) и $OD = 4$ см.

$MD^2 = MO^2 + OD^2$

$MD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$MD = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.