Номер 10, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10, страница 95.

Условие.

9.10. Точка $O$ – центр грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a$ (рис. 9.20). Найдите:

1) расстояние от точки $O$ до вершины $B_1$ куба;

2) тангенс угла между прямыми $B_1O$ и $DD_1$.

Рис. 9.18

Рис. 9.19

Рис. 9.20

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) расстояние от точки O до вершины B₁ куба;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBB₁$. Ребро $BB₁$ перпендикулярно грани $ABCD$, а значит, и отрезку $OB$, лежащему в этой грани. Следовательно, угол $\angle OBB₁$ — прямой, а треугольник $OBB₁$ — прямоугольный.

Катет $BB₁$ является ребром куба, его длина равна $a$.

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, поэтому отрезок $OB$ равен половине диагонали $BD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Таким образом, длина катета $OB$ равна: $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $OB₁$, которая и является искомым расстоянием:

$OB₁^2 = OB^2 + BB₁^2$

$OB₁^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{2a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3a^2}{2}$

$OB₁ = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $ \frac{a\sqrt{6}}{2} $

2) тангенс угла между прямыми B₁O и DD₁;

Угол между скрещивающимися прямыми $B₁O$ и $DD₁$ по определению равен углу между прямой $B₁O$ и любой прямой, параллельной $DD₁$ и пересекающей $B₁O$.

Поскольку $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — куб, его боковые ребра параллельны. Значит, $DD₁ \parallel BB₁$. Прямая $BB₁$ пересекает прямую $B₁O$ в точке $B₁$.

Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $B₁O$ и $BB₁$, то есть углу $\angle OB₁B$ в прямоугольном треугольнике $OBB₁$.

Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($OB$) к прилежащему катету ($BB₁$):

$\tan(\angle OB₁B) = \frac{OB}{BB₁}$

Из предыдущего пункта мы знаем значения длин катетов: $OB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $BB₁ = a$.

Подставим эти значения в формулу:

$\tan(\angle OB₁B) = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $