Номер 14, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 96.

Условие.

9.14. На ребре $AB$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на ребре $AB$ и перпендикулярна прямой $AB$.

Рассмотрим данный прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а смежные грани перпендикулярны.

1. Грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$ ($AD \perp AB$), и ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$ ($AA_1 \perp AB$).

2. Прямые $AD$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $(ADD_1A_1)$.

3. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $(ADD_1A_1)$.

4. Мы имеем, что искомая плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AB$, и плоскость грани $(ADD_1A_1)$ также перпендикулярна прямой $AB$.

5. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости грани $(ADD_1A_1)$, то есть $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$.

Таким образом, задача сводится к построению сечения параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости грани $ADD_1A_1$.

Построение:

1. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает плоскость нижнего основания $(ABCD)$ по прямой, проходящей через точку $M$. Так как $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$, то линия их пересечения с плоскостью $(ABCD)$ также параллельна. Линия пересечения $(ADD_1A_1)$ и $(ABCD)$ — это прямая $AD$. Следовательно, в плоскости $(ABCD)$ проводим прямую через точку $M$ параллельно ребру $AD$. Эта прямая пересечет ребро $DC$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — это след секущей плоскости на грани $ABCD$.
2. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает плоскость передней грани $(ABB_1A_1)$ по прямой, проходящей через точку $M$. Линия пересечения плоскостей $(ADD_1A_1)$ и $(ABB_1A_1)$ — это прямая $AA_1$. Так как $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$, в плоскости $(ABB_1A_1)$ проводим прямую через точку $M$ параллельно ребру $AA_1$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — это след секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.
3. Точка $P$ принадлежит плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Линия пересечения $\alpha$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ будет параллельна $A_1D_1$. Проводим в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $P$ прямую, параллельную ребру $A_1D_1$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в точке $L$. Отрезок $PL$ — это след секущей плоскости на грани $A_1B_1C_1D_1$.
4. Соединяем точки $N$ и $L$. Отрезок $NL$ лежит в плоскости задней грани $(DCC_1D_1)$. Можно проверить, что $NL \parallel MP$, так как обе они параллельны боковым ребрам $AA_1$ и $DD_1$.

В результате получаем четырехугольник $MNLP$. Так как противолежащие стороны этого четырехугольника попарно параллельны ($MN \parallel PL$ и $MP \parallel NL$), то $MNLP$ — параллелограмм. Поскольку плоскость сечения $\alpha$ перпендикулярна $AB$, а $MP$ параллельна $AA_1$ ($AA_1 \perp AB$) и $MN$ параллельна $AD$ ($AD \perp AB$), то $MP \perp MN$ (на самом деле $MP \perp$ плоскости $ABCD$, а значит и $MN$). Следовательно, $MNLP$ — прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $MNLP$, построенный согласно описанным шагам.