Страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.14. На ребре $AB$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $AB$.

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на ребре $AB$ и перпендикулярна прямой $AB$.

Рассмотрим данный прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а смежные грани перпендикулярны.

1. Грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$ ($AD \perp AB$), и ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$ ($AA_1 \perp AB$).

2. Прямые $AD$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $(ADD_1A_1)$.

3. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $(ADD_1A_1)$.

4. Мы имеем, что искомая плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AB$, и плоскость грани $(ADD_1A_1)$ также перпендикулярна прямой $AB$.

5. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости грани $(ADD_1A_1)$, то есть $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$.

Таким образом, задача сводится к построению сечения параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости грани $ADD_1A_1$.

Построение:

1. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает плоскость нижнего основания $(ABCD)$ по прямой, проходящей через точку $M$. Так как $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$, то линия их пересечения с плоскостью $(ABCD)$ также параллельна. Линия пересечения $(ADD_1A_1)$ и $(ABCD)$ — это прямая $AD$. Следовательно, в плоскости $(ABCD)$ проводим прямую через точку $M$ параллельно ребру $AD$. Эта прямая пересечет ребро $DC$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — это след секущей плоскости на грани $ABCD$.
2. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает плоскость передней грани $(ABB_1A_1)$ по прямой, проходящей через точку $M$. Линия пересечения плоскостей $(ADD_1A_1)$ и $(ABB_1A_1)$ — это прямая $AA_1$. Так как $\alpha \parallel (ADD_1A_1)$, в плоскости $(ABB_1A_1)$ проводим прямую через точку $M$ параллельно ребру $AA_1$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — это след секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.
3. Точка $P$ принадлежит плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Линия пересечения $\alpha$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ будет параллельна $A_1D_1$. Проводим в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $P$ прямую, параллельную ребру $A_1D_1$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в точке $L$. Отрезок $PL$ — это след секущей плоскости на грани $A_1B_1C_1D_1$.
4. Соединяем точки $N$ и $L$. Отрезок $NL$ лежит в плоскости задней грани $(DCC_1D_1)$. Можно проверить, что $NL \parallel MP$, так как обе они параллельны боковым ребрам $AA_1$ и $DD_1$.

В результате получаем четырехугольник $MNLP$. Так как противолежащие стороны этого четырехугольника попарно параллельны ($MN \parallel PL$ и $MP \parallel NL$), то $MNLP$ — параллелограмм. Поскольку плоскость сечения $\alpha$ перпендикулярна $AB$, а $MP$ параллельна $AA_1$ ($AA_1 \perp AB$) и $MN$ параллельна $AD$ ($AD \perp AB$), то $MP \perp MN$ (на самом деле $MP \perp$ плоскости $ABCD$, а значит и $MN$). Следовательно, $MNLP$ — прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $MNLP$, построенный согласно описанным шагам.

9.15. Точка $K$ – середина ребра $DA$ тетраэдра $DABC$, все рёбра которого равны. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$.

По условию задачи, все рёбра тетраэдра $DABC$ равны. Такой тетраэдр является правильным, и все его грани представляют собой равные равносторонние треугольники.

Для доказательства того, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$, необходимо, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, доказать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BKC$. В качестве таких прямых рассмотрим $BK$ и $CK$.

1. Рассмотрим грань $DAB$. Так как все рёбра тетраэдра равны, треугольник $DAB$ является равносторонним. Точка $K$ по условию — середина ребра $DA$. Отрезок $BK$ соединяет вершину треугольника $B$ с серединой противоположной стороны $DA$, следовательно, $BK$ является медианой треугольника $DAB$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой из сторон, является также и высотой. Таким образом, $BK$ — высота треугольника $DAB$, опущенная на сторону $DA$. Это означает, что $BK \perp DA$, или $AD \perp BK$.

2. Аналогично рассмотрим грань $DAC$. Треугольник $DAC$ также является равносторонним. Точка $K$ — середина ребра $DA$. Отрезок $CK$ является медианой треугольника $DAC$. Поскольку в равностороннем треугольнике медиана является и высотой, $CK$ — это высота, опущенная на сторону $DA$. Следовательно, $CK \perp DA$, или $AD \perp CK$.

Итак, мы установили, что прямая $AD$ перпендикулярна двум прямым — $BK$ и $CK$. Обе эти прямые лежат в плоскости $BKC$. Прямые $BK$ и $CK$ пересекаются в точке $K$, так как они имеют общую точку и не совпадают (поскольку точки $B$, $C$ и $D$ не лежат на одной прямой).

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BK$ и $CK$) в плоскости $BKC$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна самой плоскости $BKC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9.16. Через вершины $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены прямые $AM$ и $DK$, перпендикулярные плоскости параллелограмма (рис. 9.24). Докажите, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны.

Рис. 9.24

Чтобы доказать, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим прямые $AM$ и $DK$. По условию задачи, обе эти прямые перпендикулярны плоскости параллелограмма $ABCD$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны между собой. Таким образом, $AM \parallel DK$.

2. Рассмотрим прямые $AB$ и $DC$. По условию, фигура $ABCD$ является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel DC$.

3. Плоскость $MAB$ проходит через две прямые $AM$ и $AB$, которые пересекаются в точке $A$. Плоскость $KDC$ проходит через две прямые $DK$ и $DC$, которые пересекаются в точке $D$.

Мы установили, что две пересекающиеся прямые ($AM$ и $AB$) плоскости $MAB$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($DK$ и $DC$) плоскости $KDC$. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $MAB$ параллельна плоскости $KDC$.

Ответ: Доказано, что плоскости $MAB$ и $KDC$ параллельны.

9.17. Через вершины $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведены прямые $AE$ и $BF$, перпендикулярные плоскости трапеции (рис. 9.25). Каково взаимное расположение плоскостей $EAD$ и $FBC$?

Рис. 9.25

По условию задачи, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Также по условию, прямые $AE$ и $BF$ перпендикулярны плоскости трапеции $(ABCD)$. По свойству двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, эти прямые параллельны друг другу: $AE \parallel BF$.

Рассмотрим плоскости $(EAD)$ и $(FBC)$.

Плоскость $(EAD)$ проходит через две пересекающиеся прямые $AE$ и $AD$ (они пересекаются в точке $A$).

Плоскость $(FBC)$ проходит через две пересекающиеся прямые $BF$ и $BC$ (они пересекаются в точке $B$).

Мы установили, что:

• $AD \parallel BC$
• $AE \parallel BF$

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AE$ и $AD$) в плоскости $(EAD)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($BF$ и $BC$) в плоскости $(FBC)$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Следовательно, плоскость $(EAD)$ параллельна плоскости $(FBC)$.

Ответ: Плоскости $EAD$ и $FBC$ параллельны.

9.18. Образом прямой при симметрии относительно данной плоскости является сама эта прямая. Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

Пусть $l$ — данная прямая, а $\pi$ — данная плоскость. По условию, образом прямой $l$ при симметрии (отражении) относительно плоскости $\pi$ является сама прямая $l$. Это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, ее симметричный образ $A'$ относительно плоскости $\pi$ также должен принадлежать прямой $l$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Случай 1: Прямая $l$ лежит в плоскости $\pi$ ($l \subset \pi$).
Если точка $A$ принадлежит прямой $l$, то она также принадлежит и плоскости $\pi$. При симметрии относительно плоскости любая точка этой плоскости отображается сама на себя. Следовательно, образом каждой точки прямой $l$ является сама эта точка. Таким образом, образ всей прямой $l$ совпадает с самой прямой. Этот случай удовлетворяет условию.

Случай 2: Прямая $l$ пересекает плоскость $\pi$ в единственной точке $M$ ($l \cap \pi = \{M\}$).
Точка $M$ принадлежит плоскости $\pi$, поэтому при симметрии она отображается сама в себя. Возьмем на прямой $l$ любую другую точку $A \neq M$. Ее образ $A'$ по условию также должен лежать на прямой $l$. По определению симметрии относительно плоскости, отрезок $AA'$ перпендикулярен плоскости $\pi$, и его середина лежит на $\pi$. Поскольку точки $A$ и $A'$ лежат на прямой $l$, то и сама прямая $l$ (которая совпадает с прямой $AA'$) перпендикулярна плоскости $\pi$.
Таким образом, если прямая пересекает плоскость и отображается на себя, она обязана быть перпендикулярной этой плоскости. Если бы прямая $l$ не была перпендикулярна плоскости $\pi$, то прямая $AA'$, будучи перпендикулярной $\pi$, не совпадала бы с $l$, и точка $A'$ не лежала бы на $l$.

Случай 3: Прямая $l$ параллельна плоскости $\pi$ и не лежит в ней ($l \parallel \pi, l \not\subset \pi$).
В этом случае ни одна точка прямой $l$ не принадлежит плоскости $\pi$. Возьмем произвольную точку $A \in l$. Ее образ $A'$ будет лежать по другую сторону от плоскости $\pi$, причем отрезок $AA'$ будет перпендикулярен $\pi$. Поскольку $l \parallel \pi$, прямая $l$ не может быть перпендикулярна $\pi$. Следовательно, точка $A'$ не может лежать на прямой $l$. Это означает, что образ прямой $l$ не совпадает с самой прямой $l$. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

Из рассмотренных случаев следует, что условию задачи удовлетворяют только два варианта расположения.

Ответ: Прямая либо лежит в данной плоскости, либо перпендикулярна данной плоскости.

9.19. Сколько плоскостей симметрии имеет:

1) отрезок;

2) прямая;

3) плоскость;

4) окружность;

5) угол;

6) квадрат?

Опишите, как они расположены.

1) отрезок
Отрезок имеет бесконечно много плоскостей симметрии. Одна из них — это плоскость, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Все остальные плоскости симметрии — это бесконечное множество плоскостей, которые проходят через сам отрезок.
Ответ: бесконечно много.

2) прямая
Прямая имеет бесконечно много плоскостей симметрии. К ним относятся: а) все плоскости, проходящие через эту прямую; б) все плоскости, перпендикулярные этой прямой. В обоих случаях таких плоскостей бесконечно много.
Ответ: бесконечно много.

3) плоскость
Плоскость имеет бесконечно много плоскостей симметрии. Во-первых, сама эта плоскость является своей плоскостью симметрии. Во-вторых, любая плоскость, перпендикулярная данной плоскости, также является её плоскостью симметрии. Таких плоскостей бесконечно много.
Ответ: бесконечно много.

4) окружность
Окружность имеет бесконечно много плоскостей симметрии. Одна плоскость симметрии — это плоскость, в которой лежит сама окружность. Бесконечное множество других плоскостей симметрии — это все плоскости, которые перпендикулярны плоскости окружности и проходят через её центр. Каждая такая плоскость пересекает окружность по диаметру.
Ответ: бесконечно много.

5) угол
Если рассматривать угол, который не является нулевым или развернутым (т.е. его мера $0^\circ < \alpha < 180^\circ$), то он имеет две плоскости симметрии. Первая плоскость — это та, в которой лежит сам угол. Вторая плоскость — та, которая проходит через биссектрису угла и перпендикулярна его плоскости. (Если угол развернутый, он совпадает с прямой и имеет бесконечно много плоскостей симметрии).
Ответ: две.

6) квадрат
Квадрат имеет пять плоскостей симметрии. Они расположены следующим образом:

• Одна плоскость — та, в которой лежит сам квадрат.
• Четыре плоскости, перпендикулярные плоскости квадрата и проходящие через его оси симметрии на плоскости:
  • две из них проходят через диагонали квадрата;
  • две другие проходят через прямые, соединяющие середины противоположных сторон.

Ответ: пять.

9.20. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катет $AC$ в точке $E$, а гипотенузу $AB$ — в точке $F$. Найдите отрезок $EF$, если $AE : EC = 3 : 4$, $BC = 21$ см.

Поскольку $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $AC$ — его катет, то угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$).

По условию задачи, плоскость $\alpha$ перпендикулярна катету $AC$. Отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$, следовательно, прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что если прямая ($AC$) перпендикулярна плоскости ($\alpha$), то она перпендикулярна любой прямой ($EF$), лежащей в этой плоскости. Таким образом, $EF \perp AC$.

В плоскости треугольника $ABC$ две прямые, $EF$ и $BC$, перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $EF \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ABC$. Поскольку $EF \parallel BC$, эти треугольники подобны по двум углам: угол $\angle BAC$ у них общий, а углы $\angle AEF$ и $\angle ACB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AC$. Так как $\angle ACB = 90^\circ$, то и $\angle AEF = 90^\circ$.

Из подобия треугольников ($\triangle AEF \sim \triangle ABC$) следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC} $$

В условии дано отношение $AE : EC = 3 : 4$. Пусть $AE = 3x$ и $EC = 4x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$. Тогда длина всего катета $AC$ составляет:$$ AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x $$

Теперь мы можем найти отношение длин отрезков $AE$ и $AC$:$$ \frac{AE}{AC} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7} $$

Подставим известные значения в пропорцию. Из условия нам известно, что $BC = 21$ см.$$ \frac{EF}{21} = \frac{3}{7} $$

Отсюда выражаем и вычисляем искомую длину отрезка $EF$:$$ EF = 21 \cdot \frac{3}{7} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см} $$

Ответ: 9 см.

9.21. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AB = AC$, $\angle BAD = \angle CAD$. Докажите, что $AD \perp BC$.

Рассмотрим треугольники $ΔDAB$ и $ΔDAC$. По условию задачи известно, что $AB = AC$ и $∠BAD = ∠CAD$. Сторона $AD$ является общей для этих двух треугольников. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ΔDAB$ равен треугольнику $ΔDAC$.

Из равенства треугольников $ΔDAB$ и $ΔDAC$ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, $DB = DC$. Это означает, что треугольник $ΔDBC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Проведем медиану из вершины $A$ к стороне $BC$ в треугольнике $ΔABC$ и назовем точку пересечения $M$. Так как $ΔABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ (поскольку $AB=AC$), его медиана $AM$ является также и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$.

Так как $M$ является серединой $BC$, отрезок $DM$ в треугольнике $ΔDBC$ также является медианой. Поскольку мы доказали, что $ΔDBC$ — равнобедренный с основанием $BC$, его медиана $DM$ также является высотой. Следовательно, $DM \perp BC$.

Мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$. Эти две прямые определяют плоскость $(ADM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADM)$.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ADM)$. Следовательно, $AD \perp BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

9.22. В тетраэдре $DABC$ известно, что $\angle ABD = \angle CBD$, $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $BD \perp AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. По условию задачи нам дано, что $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle ADB = \angle CDB$. Сторона $BD$ является общей для этих двух треугольников. Таким образом, по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников), мы можем заключить, что $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AB = CB$ и $AD = CD$.

Равенство сторон $AB = CB$ означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Аналогично, из равенства сторон $AD = CD$ следует, что треугольник $\triangle ADC$ также является равнобедренным с основанием $AC$.

Проведем медиану $BM$ в треугольнике $\triangle ABC$ к основанию $AC$. Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный, медиана $BM$ является также его высотой. Это означает, что $BM \perp AC$.

Проведем медиану $DM$ в треугольнике $\triangle ADC$ к основанию $AC$. Поскольку $\triangle ADC$ — равнобедренный, медиана $DM$ также является его высотой. Это означает, что $DM \perp AC$.

Мы получили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум прямым — $BM$ и $DM$. Эти две прямые пересекаются в точке $M$ и лежат в одной плоскости, проходящей через точки $B, D, M$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BDM)$.

Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BDM)$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD$, или, что то же самое, $BD \perp AC$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

9.23. Отрезок $BD$ является общей медианой равнобедренных треугольников $ABC$ и $EFB$, лежащих в разных плоскостях ($BA=BC$ и $BE=BF$). Докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию он является равнобедренным ($BA=BC$), а отрезок $BD$ — его медиана, проведённая к основанию $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$.

$$BD \perp AC$$

Аналогично, рассмотрим треугольник $EFB$. По условию он также является равнобедренным ($BE=BF$), а отрезок $BD$ — его медиана, проведённая к основанию $EF$. Следовательно, $BD$ является и высотой в этом треугольнике.

$$BD \perp EF$$

Для того чтобы доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$, необходимо воспользоваться признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Найдём эти две прямые в плоскости $AEC$.

1. Прямая $AC$ лежит в плоскости $AEC$, так как она проходит через две точки этой плоскости ($A$ и $C$). Как было показано выше, $BD \perp AC$.

2. Поскольку $BD$ является медианой в $\triangle ABC$, точка $D$ — это середина отрезка $AC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $AEC$, то и точка $D$ принадлежит этой плоскости. Точка $E$ также принадлежит плоскости $AEC$ по определению. Если две точки прямой ($E$ и $D$) лежат в плоскости, то и вся прямая ($EF$) лежит в этой плоскости. Как было показано выше, $BD \perp EF$.

Прямые $AC$ и $EF$ лежат в плоскости $AEC$ и пересекаются в точке $D$, поскольку $D$ является серединой отрезков $AC$ и $EF$.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $EF$) в плоскости $AEC$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

9.24. Параллельные прямые $a, b \text{ и } c$ не лежат в одной плоскости (рис. 9.26).

На прямой $a$ отметили точку $D$ и провели через неё две прямые, одна из которых перпендикулярна прямой $b$ и пересекает её в точке $F$,

Рис. 9.24

Рис. 9.25

Рис. 9.26

а другая перпендикулярна прямой $c$ и пересекает её в точке $E$. Докажите, что $EF \perp b$ и $EF \perp c$.

Для доказательства утверждений задачи последовательно выполним следующие шаги.

1. Рассмотрим прямые $DE$ и $DF$. По условию они пересекаются в точке $D$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Точки $D$, $E$, $F$ лежат в плоскости $\alpha$, и, следовательно, прямая $EF$ также лежит в этой плоскости ($EF \subset \alpha$).

2. По условию задачи прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны ($a \parallel b \parallel c$).

3. Дано, что $DF \perp b$. Так как $a \parallel b$, то по теореме о прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных прямых, следует, что $DF \perp a$.

4. Аналогично, дано, что $DE \perp c$. Так как $a \parallel c$, то по той же теореме следует, что $DE \perp a$.

5. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DE$ и $DF$), которые лежат в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

6. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, то отсюда следует, что $a \perp EF$.

Теперь, используя доказанный факт ($a \perp EF$), докажем требуемые утверждения.

Доказательство, что $EF \perp b$

Мы установили, что прямая $EF$ перпендикулярна прямой $a$. По условию, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Согласно теореме, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Следовательно, из $EF \perp a$ и $a \parallel b$ вытекает, что $EF \perp b$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство, что $EF \perp c$

Мы установили, что прямая $EF$ перпендикулярна прямой $a$. По условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). Применяя ту же самую теорему, из $EF \perp a$ и $a \parallel c$ следует, что $EF \perp c$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.