Страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. В каком случае говорят, что фигура $F_1$ является ортогональной проекцией фигуры $F$?

Говорят, что фигура $F_1$ является ортогональной проекцией фигуры $F$, если существует такая плоскость $\alpha$, что фигура $F_1$ является множеством ортогональных проекций всех точек фигуры $F$ на эту плоскость.

Это означает, что для получения фигуры $F_1$ для каждой точки $M$ фигуры $F$ выполняют следующее построение: через точку $M$ проводят прямую, перпендикулярную (ортогональную) плоскости $\alpha$. Точка пересечения этой прямой с плоскостью $\alpha$ называется ортогональной проекцией точки $M$ и является точкой, принадлежащей фигуре $F_1$. Таким образом, фигура $F_1$ — это множество оснований перпендикуляров, опущенных из всех точек фигуры $F$ на плоскость проекции $\alpha$.

Ключевым свойством ортогонального проецирования, отличающим его от других видов проецирования, является то, что все проецирующие прямые (соединяющие точки фигуры $F$ с их проекциями в фигуре $F_1$) перпендикулярны плоскости проекции.

Ответ: Фигура $F_1$ является ортогональной проекцией фигуры $F$, если она получена путем проецирования всех точек фигуры $F$ на некоторую плоскость по прямым, которые перпендикулярны (ортогональны) этой плоскости.

2. Опишите, какой отрезок называют:

1) перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость;

2) наклонной, проведённой из точки к плоскости.

1) перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость;

Пусть дана точка $A$, не лежащая в плоскости $\alpha$. Перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$, называется отрезок $AH$, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ на плоскости $\alpha$, при условии, что прямая, содержащая этот отрезок, перпендикулярна плоскости $\alpha$.
Это означает, что прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $H$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра $AH$ является кратчайшим расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.
Ответ: Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

2) наклонной, проведённой из точки к плоскости.

Пусть дана точка $A$, не лежащая в плоскости $\alpha$. Наклонной, проведённой из точки $A$ к плоскости $\alpha$, называется любой отрезок $AM$, соединяющий точку $A$ с некоторой точкой $M$ на плоскости $\alpha$, который не является перпендикуляром к этой плоскости.
Точка $M$ называется основанием наклонной. Если $AH$ — перпендикуляр из точки $A$ к плоскости $\alpha$, то отрезок $HM$, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной, называется проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.
Ответ: Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости, который не является перпендикуляром к этой плоскости.

3. Сформулируйте теорему о перпендикуляре и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки.

Для формулировки теоремы необходимо определить понятия перпендикуляра, наклонной и ее проекции на плоскость. Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не лежащая в этой плоскости.

• Перпендикуляр из точки $A$ к плоскости $\alpha$ — это отрезок $AH$, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ в плоскости $\alpha$ и перпендикулярный этой плоскости. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
• Наклонная из точки $A$ к плоскости $\alpha$ — это любой отрезок $AM$, соединяющий точку $A$ с точкой $M$ в плоскости $\alpha$, где $M \neq H$. Точка $M$ называется основанием наклонной.
• Проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $HM$, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной.

Вместе перпендикуляр $AH$ (катет), наклонная $AM$ (гипотенуза) и ее проекция $HM$ (второй катет) образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHM$ с прямым углом $\angle AHM$. Из теоремы Пифагора следует, что их длины связаны соотношением $AM^2 = AH^2 + HM^2$. На основе этого соотношения и строится теорема.

Теорема о перпендикуляре и наклонной, проведенных к плоскости из одной точки, объединяет следующие утверждения:

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости ($AH < AM$).
2. Если две наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, равны, то равны и их проекции. Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных из одной точки, то равны и сами наклонные.
3. Из двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, больше та, у которой проекция больше. Обратно: у большей наклонной — большая проекция.

Ответ: Теорема о перпендикуляре и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, гласит, что: 1) перпендикуляр короче любой наклонной; 2) наклонные равны тогда и только тогда, когда равны их проекции; 3) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше, и наоборот.

4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости, если точка не лежит в этой плоскости, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Если точка лежит в плоскости, расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Рассмотрим этот процесс подробнее. Пусть есть точка $M$ и плоскость $\alpha$.

1. Из точки $M$ на плоскость $\alpha$ опускается перпендикуляр — это отрезок $MH$, который соединяет точку $M$ с некоторой точкой $H$ на плоскости, причем прямая $MH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
2. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра или проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.
3. Длина этого отрезка $MH$ и является искомым расстоянием.

Важным свойством перпендикуляра является то, что он короче любого другого отрезка (называемого наклонной), соединяющего точку $M$ с любой другой точкой $K$ на плоскости $\alpha$. В прямоугольном треугольнике $MHK$ (где $\angle H = 90^\circ$) отрезок $MH$ является катетом, а наклонная $MK$ — гипотенузой. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, $MH < MK$. Таким образом, расстояние от точки до плоскости — это кратчайшее из всех возможных расстояний от этой точки до точек, лежащих в плоскости.

В координатном пространстве, если точка имеет координаты $M(x_0, y_0, z_0)$, а плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ можно найти по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

5. Что называют расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости?

Рассмотрим прямую a и плоскость α, при условии, что они параллельны друг другу ($a \parallel \alpha$).

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Из этого следует, что прямая a не имеет общих точек с плоскостью α.

Важным свойством такой конфигурации является то, что все точки прямой a равноудалены от плоскости α. Это означает, что если мы выберем любую точку на прямой a и измерим расстояние от нее до плоскости α, это расстояние будет одинаковым для всех точек прямой.

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Следовательно, чтобы найти расстояние от прямой a до параллельной ей плоскости α, нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать на прямой a любую произвольную точку M.
2. Из точки M опустить перпендикуляр MH на плоскость α (где точка H является основанием перпендикуляра и лежит в плоскости α, то есть $H \in \alpha$ и $MH \perp \alpha$).
3. Длина отрезка MH и будет являться расстоянием от прямой a до плоскости α.

Ответ: Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из любой точки этой прямой к данной плоскости.

6. Что называют расстоянием между двумя параллельными плоскостями?

6. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной из этих плоскостей на другую плоскость.

Чтобы наглядно представить это определение, рассмотрим две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если взять на плоскости $\alpha$ любую точку $M$ и опустить из нее перпендикуляр $MH$ на плоскость $\beta$ (где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\beta$), то длина отрезка $MH$ и будет являться расстоянием между данными плоскостями.

Ключевое свойство параллельных плоскостей заключается в том, что это расстояние постоянно. То есть, какую бы точку на плоскости $\alpha$ мы ни выбрали, длина перпендикуляра, опущенного из нее на плоскость $\beta$, будет всегда одной и той же. Это расстояние также является наименьшим из всех возможных расстояний между точкой на одной плоскости и точкой на другой.

В аналитической геометрии, если параллельные плоскости заданы уравнениями $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ и $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ (где вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали для обеих плоскостей), то расстояние $d$ между ними можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости к другой плоскости.

7. Что называют расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что такие прямые не пересекаются и не являются параллельными.

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми по определению является длина их общего перпендикуляра.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым — это отрезок с концами на этих прямых, который перпендикулярен каждой из них. Для любой пары скрещивающихся прямых такой отрезок существует и он единственен. Длина этого отрезка является наименьшим из всех возможных расстояний между точками, одна из которых лежит на первой прямой, а другая — на второй.

Таким образом, если даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$, то расстояние между ними $\rho(a, b)$ равно длине отрезка $MN$, где точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), точка $N$ принадлежит прямой $b$ ($N \in b$), и при этом отрезок $MN$ перпендикулярен как прямой $a$, так и прямой $b$ ($MN \perp a$ и $MN \perp b$).

Эту же величину можно найти и другими способами:

• Как расстояние от любой точки одной из прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
• Как расстояние между двумя параллельными плоскостями, в каждой из которых лежит одна из данных прямых.

Ответ: Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.

8. Что называют общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых?

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых (прямых в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны) называют отрезок, который удовлетворяет двум основным условиям:

1. Концы этого отрезка лежат на данных скрещивающихся прямых, по одному концу на каждой прямой.
2. Этот отрезок перпендикулярен каждой из этих двух прямых.

Например, если у нас есть две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$, то отрезок $MN$ будет их общим перпендикуляром, если точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), точка $N$ принадлежит прямой $b$ ($N \in b$), и при этом отрезок $MN$ перпендикулярен обеим прямым: $MN \perp a$ и $MN \perp b$.

Важным свойством общего перпендикуляра является то, что для любых двух скрещивающихся прямых он существует и притом единственный. Длина этого отрезка является кратчайшим расстоянием между данными прямыми.

Ответ: Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен каждой из них.