Номер 6, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 102.

Условие.

6. Что называют расстоянием между двумя параллельными плоскостями?

Решение 1.

Решение 3.

6. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной из этих плоскостей на другую плоскость.

Чтобы наглядно представить это определение, рассмотрим две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если взять на плоскости $\alpha$ любую точку $M$ и опустить из нее перпендикуляр $MH$ на плоскость $\beta$ (где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\beta$), то длина отрезка $MH$ и будет являться расстоянием между данными плоскостями.

Ключевое свойство параллельных плоскостей заключается в том, что это расстояние постоянно. То есть, какую бы точку на плоскости $\alpha$ мы ни выбрали, длина перпендикуляра, опущенного из нее на плоскость $\beta$, будет всегда одной и той же. Это расстояние также является наименьшим из всех возможных расстояний между точкой на одной плоскости и точкой на другой.

В аналитической геометрии, если параллельные плоскости заданы уравнениями $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ и $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ (где вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали для обеих плоскостей), то расстояние $d$ между ними можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости к другой плоскости.