Номер 4, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 103.

Условие.

10.4. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр и наклонная длиной $\sqrt{7}$ см. Проекция данной наклонной на плоскость равна $\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $AH$ и наклонная $AB$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $AH$. Отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Отрезки $AH$ (перпендикуляр), $AB$ (наклонная) и $HB$ (проекция) образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором угол $\angle AHB = 90^{\circ}$. В этом треугольнике:
- гипотенуза $AB$ (наклонная) по условию равна $\sqrt{7}$ см;
- катет $HB$ (проекция) по условию равен $\sqrt{3}$ см;
- катет $AH$ (расстояние от точки до плоскости) — искомая величина.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Подставим известные значения в формулу:
$(\sqrt{7})^2 = AH^2 + (\sqrt{3})^2$
$7 = AH^2 + 3$

Теперь найдем квадрат длины перпендикуляра $AH$:
$AH^2 = 7 - 3$
$AH^2 = 4$

Длина перпендикуляра $AH$ равна квадратному корню из 4:
$AH = \sqrt{4} = 2$ см.

Следовательно, искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 2 см.

Ответ: 2 см.