Номер 7, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 104.

Условие.

10.7. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные проекции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки $A$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $AB$ и $AC$ к этой плоскости, причём точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$. По условию задачи, эти наклонные равны, то есть $AB = AC$.

Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Отрезок $HB$ является ортогональной проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — ортогональной проекцией наклонной $AC$ на ту же плоскость. Нам необходимо доказать, что длины этих проекций равны, то есть $HB = HC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ — прямоугольные треугольники с прямым углом при вершине $H$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle AHB$ равна гипотенузе $AC$ треугольника $\triangle AHC$ по условию задачи ($AB = AC$).
• Катет $AH$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников ($\triangle AHB \cong \triangle AHC$) следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $HB$ первого треугольника равен соответствующему катету $HC$ второго треугольника: $HB = HC$.

Это доказывает, что проекции равных наклонных, проведённых из одной точки к плоскости, равны.

Доказательство с использованием теоремы Пифагора:
В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + HB^2$. Отсюда $HB^2 = AB^2 - AH^2$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + HC^2$. Отсюда $HC^2 = AC^2 - AH^2$.
Так как по условию $AB = AC$, то и $AB^2 = AC^2$.
Следовательно, $HB^2 = HC^2$. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, из этого следует, что $HB = HC$.

Ответ: Утверждение доказано. Если из одной точки к плоскости проведены равные наклонные, то их проекции на эту плоскость также равны.