Номер 5, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 5, страница 103.

Условие.

10.5. Из точки $A$ проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр $AC$ и наклонные $AB$ и $AD$ (рис. 10.11). Найдите проекцию наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$, если $\angle BAC = 45^\circ$, $AB = 8$ см, $AD = 9$ см.

Рис. 10.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $AB$ и $AD$ — наклонные. Следовательно, отрезок $CD$ является проекцией наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$. Требуется найти длину отрезка $CD$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку $AC$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$. Значит, $AC \perp BC$, и треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ известны гипотенуза $AB = 8$ см и угол $\angle BAC = 45^\circ$. Найдем длину катета $AC$, который является общим для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда выразим $AC$:

$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC) = 8 \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $AC \perp \alpha$, то $AC \perp CD$, и, следовательно, треугольник $\triangle ADC$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны длина гипотенузы $AD = 9$ см и длина катета $AC = 4\sqrt{2}$ см. Найдем длину второго катета $CD$ по теореме Пифагора:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

Выразим $CD^2$:

$CD^2 = AD^2 - AC^2$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 9^2 - (4\sqrt{2})^2 = 81 - (16 \cdot 2) = 81 - 32 = 49$

Найдем длину $CD$, извлекая квадратный корень:

$CD = \sqrt{49} = 7$ см.

Таким образом, проекция наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$ равна 7 см.

Ответ: 7 см.