Номер 1, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 103.

Условие.

10.1. На рисунке 10.9 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость:

1) $ABC$; 2) $BB_1C$; 3) $AA_1B_1$.

Рис. 10.9

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то ее проекция совпадает с самой точкой.

1) $ABC$;

Найдём проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость нижнего основания $ABC$.

• Проекция точки $D$: так как точка $D$ лежит в плоскости $ABC$, её проекция на эту плоскость есть сама точка $D$.
• Проекция точки $C_1$: ребро $C_1C$ куба перпендикулярно плоскости $ABC$. Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является точка $C$.

Соединив проекции концов, получаем отрезок $CD$.

Ответ: $CD$.

2) $BB_1C$;

Найдём проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость боковой грани $BB_1C$ (эта плоскость также обозначается как $BB_1C_1$).

• Проекция точки $C_1$: так как точка $C_1$ лежит в плоскости $BB_1C_1$, её проекция на эту плоскость есть сама точка $C_1$.
• Проекция точки $D$: ребро $DC$ куба перпендикулярно плоскости $BB_1C_1C$ (поскольку $DC \perp BC$ и $DC \perp CC_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BB_1C$ является точка $C$.

Соединив проекции концов, получаем отрезок $C_1C$.

Ответ: $C_1C$.

3) $AA_1B_1$;

Найдём проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость боковой грани $AA_1B_1$ (эта плоскость также обозначается как $AA_1B_1B$).

• Проекция точки $C_1$: ребро $C_1B_1$ куба перпендикулярно плоскости $AA_1B_1B$ (поскольку $C_1B_1 \perp A_1B_1$ и $C_1B_1 \perp B_1B$). Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость $AA_1B_1$ является точка $B_1$.
• Проекция точки $D$: ребро $DA$ куба перпендикулярно плоскости $AA_1B_1B$ (поскольку $DA \perp AB$ и $DA \perp AA_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $AA_1B_1$ является точка $A$.

Соединив проекции концов, получаем отрезок $B_1A$.

Ответ: $B_1A$.