Номер 3, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 102.

Условие.

3. Сформулируйте теорему о перпендикуляре и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки.

Решение 1.

Решение 3.

Для формулировки теоремы необходимо определить понятия перпендикуляра, наклонной и ее проекции на плоскость. Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не лежащая в этой плоскости.

• Перпендикуляр из точки $A$ к плоскости $\alpha$ — это отрезок $AH$, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ в плоскости $\alpha$ и перпендикулярный этой плоскости. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
• Наклонная из точки $A$ к плоскости $\alpha$ — это любой отрезок $AM$, соединяющий точку $A$ с точкой $M$ в плоскости $\alpha$, где $M \neq H$. Точка $M$ называется основанием наклонной.
• Проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $HM$, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной.

Вместе перпендикуляр $AH$ (катет), наклонная $AM$ (гипотенуза) и ее проекция $HM$ (второй катет) образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHM$ с прямым углом $\angle AHM$. Из теоремы Пифагора следует, что их длины связаны соотношением $AM^2 = AH^2 + HM^2$. На основе этого соотношения и строится теорема.

Теорема о перпендикуляре и наклонной, проведенных к плоскости из одной точки, объединяет следующие утверждения:

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости ($AH < AM$).
2. Если две наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, равны, то равны и их проекции. Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных из одной точки, то равны и сами наклонные.
3. Из двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, больше та, у которой проекция больше. Обратно: у большей наклонной — большая проекция.

Ответ: Теорема о перпендикуляре и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, гласит, что: 1) перпендикуляр короче любой наклонной; 2) наклонные равны тогда и только тогда, когда равны их проекции; 3) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше, и наоборот.