Номер 38, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 38, страница 98.

Условие.

9.38. Точка $E$ – середина ребра $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите косинус угла между прямыми $A_1B_1$ и $A_1E$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $A_1E$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $x$ вдоль $AD$, ось $y$ вдоль $AB$, ось $z$ вдоль $AA_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда мы можем определить координаты необходимых нам точек:

• $A(0; 0; 0)$
• $B_1(0; a; a)$
• $A_1(0; 0; a)$
• $D(a; 0; 0)$
• $D_1(a; 0; a)$

Точка $E$ является серединой ребра $DD_1$. Ее координаты равны полусумме координат точек $D$ и $D_1$:
$E\left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right)$, то есть $E\left(a; 0; \frac{a}{2}\right)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $A_1E$.
Для прямой $AB_1$ вектором является $\vec{AB_1}$:$\vec{AB_1} = (0-0; a-0; a-0) = (0; a; a)$.

Для прямой $A_1E$ вектором является $\vec{A_1E}$:$\vec{A_1E} = \left(a-0; 0-0; \frac{a}{2}-a\right) = \left(a; 0; -\frac{a}{2}\right)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:$\cos\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1E}$:
$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1E} = 0 \cdot a + a \cdot 0 + a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$.

2. Найдем длины (модули) этих векторов:
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
$|\vec{A_1E}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos\alpha = \frac{\left|-\frac{a^2}{2}\right|}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\cos\alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.