Номер 39, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 39, страница 98.

Условие.

9.39. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $4\sqrt{2}$ см. Ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно $2$ см. Точки $M$ и $K$ – середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол между прямыми $SM$ и $CK$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SM$ и $CK$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Направим ось $Oz$ вдоль ребра $SC$, а ось $Ox$ вдоль ребра $CB$. Так как ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то плоскость основания $ABC$ будет совпадать с плоскостью $Oxy$.

Определим координаты вершин пирамиды и точек $M$ и $K$ в этой системе координат.
Точка $C$ — начало координат, ее координаты $C(0; 0; 0)$.
Точка $S$ лежит на оси $Oz$, и по условию $SC = 2$ см, следовательно, ее координаты $S(0; 0; 2)$.
Точка $B$ лежит на оси $Ox$, и по условию $BC = 4\sqrt{2}$ см, следовательно, ее координаты $B(4\sqrt{2}; 0; 0)$.
Точка $A$ лежит в плоскости $Oxy$. Так как треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной $a = 4\sqrt{2}$ см, угол $\angle ACB = 60^\circ$. Координаты точки $A(x_A; y_A; 0)$ можно найти, используя определение синуса и косинуса:
$x_A = AC \cdot \cos(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{2}$.
$y_A = AC \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$.
Таким образом, координаты точки $A(2\sqrt{2}; 2\sqrt{6}; 0)$.
Точка $M$ — середина ребра $BC$. Ее координаты: $M\left(\frac{4\sqrt{2}+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2\sqrt{2}; 0; 0)$.
Точка $K$ — середина ребра $AB$. Ее координаты: $K\left(\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}; \frac{2\sqrt{6}+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = K(3\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0)$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{SM}$ и $\vec{CK}$.
$\vec{SM} = \{x_M - x_S; y_M - y_S; z_M - z_S\} = \{2\sqrt{2} - 0; 0 - 0; 0 - 2\} = \{2\sqrt{2}; 0; -2\}$.
$\vec{CK} = \{x_K - x_C; y_K - y_C; z_K - z_C\} = \{3\sqrt{2} - 0; \sqrt{6} - 0; 0 - 0\} = \{3\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми $SM$ и $CK$ найдем как угол между векторами $\vec{SM}$ и $\vec{CK}$. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{SM} \cdot \vec{CK}|}{|\vec{SM}| \cdot |\vec{CK}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{SM} \cdot \vec{CK} = (2\sqrt{2})(3\sqrt{2}) + (0)(\sqrt{6}) + (-2)(0) = 6 \cdot 2 = 12$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{SM}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$|\vec{CK}| = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{18 + 6} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{|12|}{(2\sqrt{3})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из полученного значения косинуса находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.