Номер 36, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 36, страница 98.

Условие.

9.36. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $BM$, перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что линия пересечения плоскостей $ABM$ и $CDM$ перпендикулярна плоскости $BCM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CDM)$. Наша задача — доказать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $(BCM)$.

1. Нахождение линии пересечения плоскостей.
Поскольку $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABM)$. Так как $CD \parallel AB$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $CD$ параллельна плоскости $(ABM)$.
Плоскость $(CDM)$ проходит через прямую $CD$, которая параллельна плоскости $(ABM)$, и пересекает плоскость $(ABM)$ по прямой $l$. Согласно свойству, если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, $l \parallel CD$.

2. Доказательство перпендикулярности.
Чтобы доказать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $(BCM)$, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. В качестве таких прямых возьмём $BC$ и $BM$, которые лежат в плоскости $(BCM)$ и пересекаются в точке $B$.

• Докажем, что $l \perp BC$.
  Так как $ABCD$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны: $BC \perp CD$. Мы установили, что $l \parallel CD$. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Следовательно, $l \perp BC$.
• Докажем, что $l \perp BM$.
  По условию, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$, т.е. $BM \perp (ABC)$. Это означает, что $BM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABC)$, следовательно, $BM \perp CD$. Поскольку $l \parallel CD$, то и $l \perp BM$.

Итак, прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BM$ в плоскости $(BCM)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, отсюда следует, что прямая $l$ перпендикулярна всей плоскости $(BCM)$.
Таким образом, доказано, что линия пересечения плоскостей $ABM$ и $CDM$ перпендикулярна плоскости $BCM$.

Ответ: Утверждение задачи доказано.