Номер 40, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 40, страница 98.

Условие.

9.40. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой, если одна из наклонных на 2 см больше другой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $h$ — искомое расстояние от точки до прямой. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Данный перпендикуляр, две наклонные и их проекции на прямую образуют два прямоугольных треугольника. В этих треугольниках перпендикуляр является общим катетом, проекции — вторыми катетами, а наклонные — гипотенузами.

Обозначим длины наклонных как $d_1$ и $d_2$. Длины их проекций по условию равны 5 см и 9 см. Согласно теореме Пифагора, мы можем составить систему уравнений:

$d_1^2 = h^2 + 5^2$
$d_2^2 = h^2 + 9^2$

Из условия задачи известно, что одна из наклонных на 2 см больше другой. Так как большей проекции соответствует большая наклонная (при одинаковой высоте $h$), то наклонная с проекцией 9 см будет длиннее наклонной с проекцией 5 см. Обозначим длину меньшей наклонной (с проекцией 5 см) как $x$. Тогда длина большей наклонной (с проекцией 9 см) будет $x + 2$.

Подставим эти выражения в нашу систему уравнений:

$x^2 = h^2 + 5^2 \implies x^2 = h^2 + 25$
$(x+2)^2 = h^2 + 9^2 \implies x^2 + 4x + 4 = h^2 + 81$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим $h^2$ из первого уравнения:

$h^2 = x^2 - 25$

Подставим это выражение для $h^2$ во второе уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = (x^2 - 25) + 81$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 56$
$4x = 56 - 4$
$4x = 52$
$x = \frac{52}{4}$
$x = 13$ см

Мы нашли длину меньшей наклонной. Теперь найдем искомое расстояние $h$, подставив значение $x$ в выражение для $h^2$:

$h^2 = x^2 - 25$
$h^2 = 13^2 - 25$
$h^2 = 169 - 25$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144}$
$h = 12$ см

Ответ: 12 см.