Номер 33, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 33, страница 97.

Условие.

9.33. Докажите, что прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные этой прямой, лежат в одной плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной этой прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждения введем обозначения. Пусть дана прямая $l$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой ($M \in l$).

Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $l$. Согласно основной теореме стереометрии, такая плоскость существует и она единственна. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Таким образом, прямая $l$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M$.

Теперь нам нужно доказать два взаимно связанных утверждения:

1. Любая прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $l$, лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть $a$ – произвольная прямая, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $l$ ($a \perp l$). Докажем, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) методом от противного.

Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$. Прямые $a$ и $l$ пересекаются в точке $M$, следовательно, они определяют единственную плоскость $\beta$. Плоскость $\alpha$ также проходит через точку $M$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $a'$. Прямая $a'$ проходит через точку $M$ и лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку $a' \subset \alpha$ и $M \in a'$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна прямой $a'$ ($l \perp a'$).

Таким образом, в плоскости $\beta$ мы имеем две различные прямые $a$ и $a'$, которые обе проходят через точку $M$ и обе перпендикулярны прямой $l$. Это противоречит теореме планиметрии о том, что в плоскости через данную точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $a$ должна лежать в плоскости $\alpha$.

2. Любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ и проходящая через точку $M$, перпендикулярна прямой $l$.

Это утверждение следует непосредственно из определения перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ в точке $M$, то она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $M$.

Из этих двух пунктов следует, что совокупность всех прямых, проходящих через точку $M$ и перпендикулярных прямой $l$, в точности совпадает с совокупностью всех прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через точку $M$.

Таким образом, все прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные этой прямой, лежат в одной плоскости, а именно в той, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, удовлетворяющие условию, лежат в единственной плоскости, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой.