Номер 37, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 37, страница 98.

Условие.

9.37. Через вершину $A$ треугольника $\triangle ABC$ проведена прямая $AD$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Медианы треугольника $\triangle ABC$ пересекаются в точке $E$, а медианы треугольника $\triangle DBC$ — в точке $F$. Докажите, что прямая $EF$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $M$ – середина стороны $BC$. Тогда отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, а отрезок $DM$ – медианой треугольника $DBC$.

По условию, $E$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Следовательно, $E$ является центроидом этого треугольника и лежит на медиане $AM$. По свойству центроида, он делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, $AE:EM = 2:1$. Из этого отношения следует, что $ME = \frac{1}{3} AM$.

Аналогично, $F$ – точка пересечения медиан треугольника $DBC$. Следовательно, $F$ является центроидом этого треугольника и лежит на медиане $DM$. По свойству центроида, $DF:FM = 2:1$, из чего следует, что $MF = \frac{1}{3} DM$.

Рассмотрим треугольник $ADM$. Точки $E$ и $F$ лежат на его сторонах $AM$ и $DM$ соответственно. Сравним отношения, в которых эти точки делят стороны треугольника, считая от общей вершины $M$:

$\frac{ME}{MA} = \frac{1}{3}$ и $\frac{MF}{MD} = \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{ME}{MA} = \frac{MF}{MD}$, то по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса), прямая $EF$ параллельна прямой $AD$.

В условии задачи дано, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (обозначим $AD \perp (ABC)$).

Согласно свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Поскольку $EF \parallel AD$ и $AD \perp (ABC)$, то из этого следует, что $EF \perp (ABC)$.

Ответ: Доказано, что прямая $EF$ перпендикулярна плоскости $ABC$.