Номер 31, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 31, страница 97.

Условие.

9.31. При симметрии относительно плоскости образом прямой $a$ является прямая $a_1$. Докажите, что прямые $a$ и $a_1$ лежат в одной плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — плоскость симметрии. Чтобы доказать, что прямая $a$ и ее образ $a_1$ лежат в одной плоскости, рассмотрим три возможных случая взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Случай 1: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.

В этом случае каждая точка прямой $a$ при симметрии относительно $\alpha$ отображается на саму себя. Следовательно, образ прямой, $a_1$, совпадает с самой прямой $a$ ($a_1 = a$). Совпадающие прямые, очевидно, лежат в одной плоскости.

Случай 2: Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P$. Точка $P$ является неподвижной при симметрии, поэтому $P$ принадлежит и прямой $a_1$. Возьмем на прямой $a$ любую другую точку $A$, отличную от $P$. Ее образ $A_1$ по определению симметрии лежит на перпендикуляре к плоскости $\alpha$, проведенном через точку $A$. Этим перпендикуляром является сама прямая $a$. Значит, точка $A_1$ также лежит на прямой $a$. Поскольку обе точки $P$ и $A_1$ лежат на прямой $a$, то прямая $a_1$, проходящая через них, совпадает с прямой $a$. Таким образом, $a_1 = a$, и прямые лежат в одной плоскости.

Случай 3: Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ и не перпендикулярна ей.

Выберем на прямой $a$ две различные точки $A$ и $B$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — их симметричные образы относительно плоскости $\alpha$. Прямая $a_1$ проходит через точки $A_1$ и $B_1$.

По определению симметрии, прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, и, следовательно, параллельны друг другу. Поскольку прямая $a$ не перпендикулярна $\alpha$, прямые $AA_1$ и $BB_1$ не совпадают. Две различные параллельные прямые задают единственную плоскость, назовем ее $\beta$.

В этой плоскости $\beta$ лежат все четыре точки: $A$, $A_1$, $B$, $B_1$. Так как точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $a$, проходящая через них, лежит в этой плоскости. Аналогично, так как точки $A_1$ и $B_1$ принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $a_1$, проходящая через них, лежит в этой плоскости.

Следовательно, в этом случае прямые $a$ и $a_1$ также лежат в одной плоскости.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $a$ и $a_1$ всегда лежат в одной плоскости.