Номер 24, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 24, страница 96.

Условие.

9.24. Параллельные прямые $a, b \text{ и } c$ не лежат в одной плоскости (рис. 9.26).

На прямой $a$ отметили точку $D$ и провели через неё две прямые, одна из которых перпендикулярна прямой $b$ и пересекает её в точке $F$,

Рис. 9.24

Рис. 9.25

Рис. 9.26

а другая перпендикулярна прямой $c$ и пересекает её в точке $E$. Докажите, что $EF \perp b$ и $EF \perp c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждений задачи последовательно выполним следующие шаги.

1. Рассмотрим прямые $DE$ и $DF$. По условию они пересекаются в точке $D$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Точки $D$, $E$, $F$ лежат в плоскости $\alpha$, и, следовательно, прямая $EF$ также лежит в этой плоскости ($EF \subset \alpha$).

2. По условию задачи прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны ($a \parallel b \parallel c$).

3. Дано, что $DF \perp b$. Так как $a \parallel b$, то по теореме о прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных прямых, следует, что $DF \perp a$.

4. Аналогично, дано, что $DE \perp c$. Так как $a \parallel c$, то по той же теореме следует, что $DE \perp a$.

5. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DE$ и $DF$), которые лежат в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

6. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, то отсюда следует, что $a \perp EF$.

Теперь, используя доказанный факт ($a \perp EF$), докажем требуемые утверждения.

Доказательство, что $EF \perp b$

Мы установили, что прямая $EF$ перпендикулярна прямой $a$. По условию, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Согласно теореме, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Следовательно, из $EF \perp a$ и $a \parallel b$ вытекает, что $EF \perp b$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство, что $EF \perp c$

Мы установили, что прямая $EF$ перпендикулярна прямой $a$. По условию, прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$). Применяя ту же самую теорему, из $EF \perp a$ и $a \parallel c$ следует, что $EF \perp c$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.