Номер 23, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 23, страница 96.

Условие.

9.23. Отрезок $BD$ является общей медианой равнобедренных треугольников $ABC$ и $EFB$, лежащих в разных плоскостях ($BA=BC$ и $BE=BF$). Докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию он является равнобедренным ($BA=BC$), а отрезок $BD$ — его медиана, проведённая к основанию $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$.

$$BD \perp AC$$

Аналогично, рассмотрим треугольник $EFB$. По условию он также является равнобедренным ($BE=BF$), а отрезок $BD$ — его медиана, проведённая к основанию $EF$. Следовательно, $BD$ является и высотой в этом треугольнике.

$$BD \perp EF$$

Для того чтобы доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$, необходимо воспользоваться признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Найдём эти две прямые в плоскости $AEC$.

1. Прямая $AC$ лежит в плоскости $AEC$, так как она проходит через две точки этой плоскости ($A$ и $C$). Как было показано выше, $BD \perp AC$.

2. Поскольку $BD$ является медианой в $\triangle ABC$, точка $D$ — это середина отрезка $AC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $AEC$, то и точка $D$ принадлежит этой плоскости. Точка $E$ также принадлежит плоскости $AEC$ по определению. Если две точки прямой ($E$ и $D$) лежат в плоскости, то и вся прямая ($EF$) лежит в этой плоскости. Как было показано выше, $BD \perp EF$.

Прямые $AC$ и $EF$ лежат в плоскости $AEC$ и пересекаются в точке $D$, поскольку $D$ является серединой отрезков $AC$ и $EF$.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $EF$) в плоскости $AEC$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AEC$.