Номер 20, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 20, страница 96.

Условие.

9.20. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катет $AC$ в точке $E$, а гипотенузу $AB$ — в точке $F$. Найдите отрезок $EF$, если $AE : EC = 3 : 4$, $BC = 21$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $AC$ — его катет, то угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$).

По условию задачи, плоскость $\alpha$ перпендикулярна катету $AC$. Отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$, следовательно, прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что если прямая ($AC$) перпендикулярна плоскости ($\alpha$), то она перпендикулярна любой прямой ($EF$), лежащей в этой плоскости. Таким образом, $EF \perp AC$.

В плоскости треугольника $ABC$ две прямые, $EF$ и $BC$, перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $EF \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ABC$. Поскольку $EF \parallel BC$, эти треугольники подобны по двум углам: угол $\angle BAC$ у них общий, а углы $\angle AEF$ и $\angle ACB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AC$. Так как $\angle ACB = 90^\circ$, то и $\angle AEF = 90^\circ$.

Из подобия треугольников ($\triangle AEF \sim \triangle ABC$) следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{AE}{AC} = \frac{EF}{BC} $$

В условии дано отношение $AE : EC = 3 : 4$. Пусть $AE = 3x$ и $EC = 4x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$. Тогда длина всего катета $AC$ составляет:$$ AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x $$

Теперь мы можем найти отношение длин отрезков $AE$ и $AC$:$$ \frac{AE}{AC} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7} $$

Подставим известные значения в пропорцию. Из условия нам известно, что $BC = 21$ см.$$ \frac{EF}{21} = \frac{3}{7} $$

Отсюда выражаем и вычисляем искомую длину отрезка $EF$:$$ EF = 21 \cdot \frac{3}{7} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см} $$

Ответ: 9 см.