Номер 18, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 18, страница 96.

Условие.

9.18. Образом прямой при симметрии относительно данной плоскости является сама эта прямая. Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

Пусть $l$ — данная прямая, а $\pi$ — данная плоскость. По условию, образом прямой $l$ при симметрии (отражении) относительно плоскости $\pi$ является сама прямая $l$. Это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, ее симметричный образ $A'$ относительно плоскости $\pi$ также должен принадлежать прямой $l$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Случай 1: Прямая $l$ лежит в плоскости $\pi$ ($l \subset \pi$).
Если точка $A$ принадлежит прямой $l$, то она также принадлежит и плоскости $\pi$. При симметрии относительно плоскости любая точка этой плоскости отображается сама на себя. Следовательно, образом каждой точки прямой $l$ является сама эта точка. Таким образом, образ всей прямой $l$ совпадает с самой прямой. Этот случай удовлетворяет условию.

Случай 2: Прямая $l$ пересекает плоскость $\pi$ в единственной точке $M$ ($l \cap \pi = \{M\}$).
Точка $M$ принадлежит плоскости $\pi$, поэтому при симметрии она отображается сама в себя. Возьмем на прямой $l$ любую другую точку $A \neq M$. Ее образ $A'$ по условию также должен лежать на прямой $l$. По определению симметрии относительно плоскости, отрезок $AA'$ перпендикулярен плоскости $\pi$, и его середина лежит на $\pi$. Поскольку точки $A$ и $A'$ лежат на прямой $l$, то и сама прямая $l$ (которая совпадает с прямой $AA'$) перпендикулярна плоскости $\pi$.
Таким образом, если прямая пересекает плоскость и отображается на себя, она обязана быть перпендикулярной этой плоскости. Если бы прямая $l$ не была перпендикулярна плоскости $\pi$, то прямая $AA'$, будучи перпендикулярной $\pi$, не совпадала бы с $l$, и точка $A'$ не лежала бы на $l$.

Случай 3: Прямая $l$ параллельна плоскости $\pi$ и не лежит в ней ($l \parallel \pi, l \not\subset \pi$).
В этом случае ни одна точка прямой $l$ не принадлежит плоскости $\pi$. Возьмем произвольную точку $A \in l$. Ее образ $A'$ будет лежать по другую сторону от плоскости $\pi$, причем отрезок $AA'$ будет перпендикулярен $\pi$. Поскольку $l \parallel \pi$, прямая $l$ не может быть перпендикулярна $\pi$. Следовательно, точка $A'$ не может лежать на прямой $l$. Это означает, что образ прямой $l$ не совпадает с самой прямой $l$. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

Из рассмотренных случаев следует, что условию задачи удовлетворяют только два варианта расположения.

Ответ: Прямая либо лежит в данной плоскости, либо перпендикулярна данной плоскости.